Страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

743. На тарелке лежит 5 мандаринов и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать или мандарин, или апельсин?

Для решения этой задачи применяется основное правило комбинаторики — правило сложения. Оно гласит, что если два действия являются взаимоисключающими (то есть не могут произойти одновременно), и первое действие можно выполнить m способами, а второе — n способами, то выполнить одно из этих действий (любое на выбор) можно $m+n$ способами.

В данном случае у нас есть два взаимоисключающих действия:

1. Выбрать мандарин. Поскольку на тарелке лежит 5 мандаринов, существует 5 способов это сделать.

2. Выбрать апельсин. Поскольку на тарелке лежит 4 апельсина, существует 4 способа это сделать.

Так как нам нужно выбрать или мандарин, или апельсин, мы должны сложить количество способов для каждого из этих действий.

Общее количество способов равно сумме способов выбора мандарина и способов выбора апельсина:
$5 + 4 = 9$

Следовательно, существует 9 способов выбрать один фрукт из тех, что лежат на тарелке.

Ответ: 9.

744. На тарелке лежит 5 мандаринов и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один мандарин и один апельсин?

Это задача на комбинаторику, а именно на использование правила умножения. Правило умножения гласит: если элемент A можно выбрать $m$ способами, а элемент B можно выбрать $k$ способами, то пару (A, B) можно выбрать $m \times k$ способами.

В нашем случае:

1. Элемент A — это мандарин. На тарелке лежит 5 мандаринов, следовательно, выбрать один мандарин можно 5 способами.

2. Элемент B — это апельсин. На тарелке лежит 4 апельсина, следовательно, выбрать один апельсин можно 4 способами.

Чтобы найти общее количество способов выбрать один мандарин и один апельсин, нужно перемножить количество способов выбора мандарина и количество способов выбора апельсина.

Пусть $N_м$ — количество способов выбрать мандарин, а $N_а$ — количество способов выбрать апельсин. Тогда общее количество способов $N$ равно:

$N = N_м \times N_а = 5 \times 4 = 20$

Таким образом, существует 20 различных пар "мандарин и апельсин", которые можно составить из имеющихся фруктов.

Ответ: 20.

745. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколькими способами можно осуществить выбор?

Для решения этой задачи нужно определить общее количество учеников в классе и затем использовать принципы комбинаторики для нахождения числа возможных способов выбора старосты и его заместителя.

1. Сначала найдем общее количество учеников в классе. В классе 12 мальчиков и 15 девочек, следовательно, общее число учеников $n$ равно: $n = 12 + 15 = 27$

2. Теперь нужно выбрать двух человек на две различные должности: старосту и заместителя. Поскольку должности разные, порядок выбора имеет значение. Если мы выберем ученика А старостой, а ученика Б заместителем, это будет один способ. Если же мы выберем ученика Б старостой, а ученика А заместителем — это будет уже другой способ. Такие комбинации, где важен порядок, называются размещениями.

Мы можем решить эту задачу, используя правило произведения:

• На должность старосты можно выбрать любого из 27 учеников. Таким образом, есть 27 вариантов.
• После того как староста выбран, он уже не может быть своим заместителем. Следовательно, на должность заместителя остается $27 - 1 = 26$ учеников. Таким образом, есть 26 вариантов для выбора заместителя.

Общее количество способов выбора старосты и заместителя равно произведению числа вариантов для каждой должности: $N = 27 \times 26 = 702$

Также можно использовать формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=27$ (общее количество учеников), а $k=2$ (количество должностей). Подставим значения в формулу: $A_{27}^2 = \frac{27!}{(27-2)!} = \frac{27!}{25!} = \frac{27 \times 26 \times 25 \times \dots \times 1}{25 \times \dots \times 1} = 27 \times 26 = 702$

Таким образом, существует 702 способа выбрать старосту и его заместителя.

Ответ: 702.

746. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Нужно выбрать старосту класса и его заместителя. Сколькими способами можно осуществить выбор, если это должны быть:

а) два мальчика;

б) две девочки;

в) мальчик-староста и девочка-заместитель;

г) девочка-староста и мальчик-заместитель;

д) мальчик и девочка (старостой может быть и мальчик, и девочка)?

В этой задаче мы будем использовать основные принципы комбинаторики: правило произведения и правило суммы. Поскольку должности старосты и заместителя различны, порядок выбора кандидатов имеет значение, поэтому мы имеем дело с размещениями.

а) два мальчика

Нужно выбрать 2 человек на 2 разные должности из 12 мальчиков. На должность старосты можно выбрать одного из 12 мальчиков, то есть есть 12 способов. После того, как староста выбран, на должность его заместителя остается 11 мальчиков. Значит, есть 11 способов выбрать заместителя. По правилу произведения, общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора: $12 \times 11 = 132$. Это также можно рассчитать как число размещений из 12 по 2: $A_{12}^2 = \frac{12!}{(12-2)!} = 12 \times 11 = 132$.

Ответ: 132.

б) две девочки

Нужно выбрать 2 человек на 2 разные должности из 15 девочек. На должность старосты можно выбрать одну из 15 девочек (15 способов). На должность заместителя останется 14 девочек (14 способов). По правилу произведения, общее число способов: $15 \times 14 = 210$. Или, используя формулу размещений: $A_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)!} = 15 \times 14 = 210$.

Ответ: 210.

в) мальчик-староста и девочка-заместитель

На должность старосты нужно выбрать одного из 12 мальчиков. Это можно сделать 12 способами. На должность заместителя нужно выбрать одну из 15 девочек. Это можно сделать 15 способами. Так как выборы независимы, по правилу произведения общее число способов равно: $12 \times 15 = 180$.

Ответ: 180.

г) девочка-староста и мальчик-заместитель

На должность старосты нужно выбрать одну из 15 девочек (15 способов). На должность заместителя нужно выбрать одного из 12 мальчиков (12 способов). По правилу произведения, общее число способов: $15 \times 12 = 180$.

Ответ: 180.

д) мальчик и девочка (старостой может быть и мальчик, и девочка)

Этот случай можно разбить на два непересекающихся варианта: 1. Староста — мальчик, а заместитель — девочка. 2. Староста — девочка, а заместитель — мальчик. Количество способов для первого варианта мы нашли в пункте в), оно равно 180. Количество способов для второго варианта мы нашли в пункте г), оно равно 180. По правилу суммы, общее число способов равно сумме способов для каждого варианта: $180 + 180 = 360$.

Ответ: 360.

747. Сколькими способами:

a) 3 человека могут разместиться на трёхместной скамейке;

б) 3 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке;

в) 4 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке?

а) 3 человека могут разместиться на трёхместной скамейке;

Эта задача о количестве способов расположить 3 различных объекта (людей) на 3 различных местах. Поскольку важен порядок, в котором люди сидят, мы имеем дело с перестановками. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=3$, поэтому количество способов равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Можно рассуждать и по-другому: для первого человека есть 3 варианта сесть. Для второго остаётся 2 свободных места. Для третьего — только 1. Общее число способов по правилу умножения равно $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6 способов.

б) 3 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке;

В этой задаче нужно разместить 3 человека на 4-местной скамейке. Это означает, что нужно выбрать 3 места из 4 и рассадить на них 3 человек. Так как порядок рассадки важен, мы используем формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$, где $n$ — это количество мест, а $k$ — количество людей.

Формула для размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (места) и $k=3$ (человека). Подставляем значения в формулу:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{24}{1} = 24$

Также можно рассуждать последовательно: первый человек может выбрать любое из 4 мест. Второй человек может выбрать любое из оставшихся 3 мест. Третий человек может выбрать одно из оставшихся 2 мест. По правилу умножения, общее количество способов равно: $4 \times 3 \times 2 = 24$.

Ответ: 24 способа.

в) 4 человека могут разместиться на четырёхместной скамейке?

Эта задача аналогична пункту а), но для 4 человек и 4 мест. Необходимо найти количество способов расположить 4 различных объекта (людей) на 4 различных местах. Это задача на нахождение числа перестановок из 4 элементов.

Используем формулу перестановок $P_n = n!$ для $n=4$:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Рассуждая последовательно: первый человек может сесть на любое из 4 мест. Второй — на любое из 3 оставшихся. Третий — на любое из 2 оставшихся, а четвёртый — на последнее свободное место. Общее число способов: $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24 способа.

748. Сколько различных автомобильных номеров можно получить, используя три из 30 букв русского алфавита (без ь, ъ, ы) и четыре из десяти цифр (от 0 до 9), если цифры и буквы повторять не разрешается и номер должен иметь вид, как на рисунке 90?

Для решения данной задачи необходимо применить методы комбинаторики. Автомобильный номер состоит из двух независимых частей: буквенной и цифровой. Общее количество различных номеров будет равно произведению числа возможных комбинаций для букв и числа возможных комбинаций для цифр (согласно правилу произведения).

По условию, ни буквы, ни цифры в номере повторяться не могут, а их порядок важен. Это означает, что для подсчета вариантов мы будем использовать формулу для числа размещений без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов для выбора, а $k$ — количество элементов, которое мы выбираем и расставляем.

Сначала найдем количество способов составить буквенную часть номера. Нам нужно выбрать и расставить 3 различные буквы из 30 доступных. Здесь $n=30$ и $k=3$.

Число комбинаций для букв:$N_{букв} = A_{30}^3 = 30 \cdot (30-1) \cdot (30-2) = 30 \cdot 29 \cdot 28 = 24360$.

Далее найдем количество способов составить цифровую часть номера. Мы должны выбрать и расставить 4 различные цифры из 10 доступных (от 0 до 9). Здесь $n=10$ и $k=4$.

Число комбинаций для цифр:$N_{цифр} = A_{10}^4 = 10 \cdot (10-1) \cdot (10-2) \cdot (10-3) = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$.

Теперь, чтобы найти общее количество различных автомобильных номеров, перемножим количество вариантов для буквенной и цифровой частей. Конкретный вид номера (упомянутый "рисунок 90") определяет лишь взаимное расположение букв и цифр, но не меняет общего числа комбинаций, так как мы уже учли важность порядка при расчете размещений.

Общее количество номеров:$N_{общ} = N_{букв} \cdot N_{цифр} = 24360 \cdot 5040 = 122774400$.

Ответ: 122 774 400.

749. В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Для генеральной уборки школы надо выбрать трёх мальчиков и четырёх девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику, поскольку нам нужно выбрать группы людей, и порядок выбора внутри группы не имеет значения. Задача разбивается на два независимых действия: выбор мальчиков и выбор девочек. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого действия.

1. Выбор мальчиков.

Нужно выбрать 3 мальчиков из 12. Количество способов сделать это — число сочетаний из 12 по 3. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, которое нужно выбрать.

В нашем случае $n=12$ и $k=3$.

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{6} = 10 \cdot 11 \cdot 2 = 220$ способов выбрать мальчиков.

2. Выбор девочек.

Нужно выбрать 4 девочек из 15. Количество способов сделать это — число сочетаний из 15 по 4.

В данном случае $n=15$ и $k=4$.

$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{11! \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{24}$.

Сократим дробь: $\frac{12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{24} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{2} = 13 \cdot 7 \cdot 15 = 1365$ способов выбрать девочек.

3. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов сформировать группу для уборки, нужно перемножить количество способов выбора мальчиков и количество способов выбора девочек (согласно правилу произведения в комбинаторике).

$N = C_{12}^3 \cdot C_{15}^4 = 220 \cdot 1365 = 300300$ способов.

Ответ: 300300.

750. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник, четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени и три третьих блюда: чай, кофе, компот. Сколько вариантов обеда предлагают в кафе?

Для того чтобы определить общее количество вариантов обеда, необходимо использовать комбинаторное правило умножения. Согласно этому правилу, если один элемент можно выбрать $n_1$ способами, после этого второй элемент можно выбрать $n_2$ способами, а третий — $n_3$ способами, то общее число способов составить комбинацию из трех элементов равно произведению этих чисел.

В данной задаче обед состоит из трех блюд: первого, второго и третьего.

1. Количество вариантов для первого блюда. В меню есть два первых блюда: борщ и рассольник. Следовательно, количество способов выбрать первое блюдо равно $2$.

2. Количество вариантов для второго блюда. В меню есть четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски и пельмени. Количество способов выбрать второе блюдо равно $4$.

3. Количество вариантов для третьего блюда. В меню есть три третьих блюда: чай, кофе и компот. Количество способов выбрать третье блюдо равно $3$.

Чтобы найти общее количество вариантов обеда, перемножим количество вариантов для каждого блюда:

$N = 2 \times 4 \times 3$

$N = 8 \times 3 = 24$

Таким образом, всего в кафе можно составить 24 различных варианта обеда.

Ответ: 24

751. Сколько решений в натуральных числах имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} a + b = 4, \\ c + d = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} a + b = 5, \\ c + d = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} a + b = 4, \\ c + d = 6? \end{cases}$

Для решения задачи необходимо найти количество пар натуральных чисел для каждого уравнения в системе, а затем перемножить эти количества, поскольку уравнения независимы друг от друга. Натуральными числами считаются положительные целые числа $ \{1, 2, 3, ...\} $.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} a + b = 4 \\ c + d = 5 \end{cases} $

1. Найдем количество решений для уравнения $a + b = 4$ в натуральных числах. Переменная $a$ может принимать значения от 1 до 3. Если $a=1$, то $b=3$. Если $a=2$, то $b=2$. Если $a=3$, то $b=1$. Всего получаем 3 пары: (1, 3), (2, 2), (3, 1). Таким образом, у первого уравнения 3 решения.

2. Найдем количество решений для уравнения $c + d = 5$ в натуральных числах. Переменная $c$ может принимать значения от 1 до 4. Если $c=1$, то $d=4$. Если $c=2$, то $d=3$. Если $c=3$, то $d=2$. Если $c=4$, то $d=1$. Всего получаем 4 пары: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Таким образом, у второго уравнения 4 решения.

Общее количество решений системы равно произведению количества решений каждого уравнения: $3 \times 4 = 12$.

Ответ: 12

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} a + b = 5 \\ c + d = 5 \end{cases} $

1. Найдем количество решений для уравнения $a + b = 5$ в натуральных числах. Как мы выяснили в пункте а), такое уравнение имеет 4 решения: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).

2. Уравнение $c + d = 5$ аналогично первому, поэтому оно также имеет 4 решения в натуральных числах.

Общее количество решений системы равно произведению количества решений каждого уравнения: $4 \times 4 = 16$.

Ответ: 16

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} a + b = 4 \\ c + d = 6 \end{cases} $

1. Найдем количество решений для уравнения $a + b = 4$ в натуральных числах. Как мы выяснили в пункте а), это уравнение имеет 3 решения: (1, 3), (2, 2), (3, 1).

2. Найдем количество решений для уравнения $c + d = 6$ в натуральных числах. Переменная $c$ может принимать значения от 1 до 5. Если $c=1$, то $d=5$. Если $c=2$, то $d=4$. Если $c=3$, то $d=3$. Если $c=4$, то $d=2$. Если $c=5$, то $d=1$. Всего получаем 5 пар: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1). Таким образом, у второго уравнения 5 решений.

Общее количество решений системы равно произведению количества решений каждого уравнения: $3 \times 5 = 15$.

Ответ: 15