Страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

728. В таблице отражена динамика курсов доллара и евро (десять значений, округлённых до десятых) в октябре 2009 г.

Доллар: 30,1, 29,8, 29,8, 29,6, 29,6, 29,6, 29,5, 29,5, 29,3, 29,3

Евро: 44,0, 44,0, 43,8, 43,8, 43,6, 43,5, 43,6, 43,9, 43,8, 43,7

Определите среднее арифметическое, моду, медиану и размах совокупности числовых данных:

а) для доллара;

б) для евро.

а) для доллара;

Дан ряд значений курса доллара: 30,1; 29,8; 29,8; 29,6; 29,6; 29,6; 29,5; 29,5; 29,3; 29,3. Всего 10 значений.

1. Среднее арифметическое равно сумме всех чисел, деленной на их количество.
$Сумма = 30,1 + 29,8 \cdot 2 + 29,6 \cdot 3 + 29,5 \cdot 2 + 29,3 \cdot 2 = 30,1 + 59,6 + 88,8 + 59,0 + 58,6 = 296,1$
$Среднее \ арифметическое = \frac{296,1}{10} = 29,61$

2. Мода – это значение, которое встречается в ряду чаще всего.
В данном ряду значение 29,6 встречается 3 раза, что чаще, чем любое другое значение.
$Мода = 29,6$

3. Медиана – это серединное значение упорядоченного ряда. Сначала упорядочим ряд по возрастанию:
29,3; 29,3; 29,5; 29,5; 29,6; 29,6; 29,6; 29,8; 29,8; 30,1.
Так как в ряду четное количество чисел (10), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (5-го и 6-го).
$Медиана = \frac{29,6 + 29,6}{2} = 29,6$

4. Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
$Размах = 30,1 - 29,3 = 0,8$

Ответ: среднее арифметическое – 29,61; мода – 29,6; медиана – 29,6; размах – 0,8.

б) для евро.

Дан ряд значений курса евро: 44,0; 44,0; 43,8; 43,8; 43,6; 43,5; 43,6; 43,9; 43,8; 43,7. Всего 10 значений.

1. Среднее арифметическое равно сумме всех чисел, деленной на их количество.
$Сумма = 44,0 \cdot 2 + 43,8 \cdot 3 + 43,6 \cdot 2 + 43,5 + 43,9 + 43,7 = 88,0 + 131,4 + 87,2 + 43,5 + 43,9 + 43,7 = 437,7$
$Среднее \ арифметическое = \frac{437,7}{10} = 43,77$

2. Мода – это значение, которое встречается в ряду чаще всего.
В данном ряду значение 43,8 встречается 3 раза, что чаще, чем любое другое значение.
$Мода = 43,8$

3. Медиана – это серединное значение упорядоченного ряда. Сначала упорядочим ряд по возрастанию:
43,5; 43,6; 43,6; 43,7; 43,8; 43,8; 43,8; 43,9; 44,0; 44,0.
Так как в ряду четное количество чисел (10), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (5-го и 6-го).
$Медиана = \frac{43,8 + 43,8}{2} = 43,8$

4. Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
$Размах = 44,0 - 43,5 = 0,5$

Ответ: среднее арифметическое – 43,77; мода – 43,8; медиана – 43,8; размах – 0,5.

729. Два стрелка на тренировке показали результаты, представленные в таблице. Здесь для каждого стрелка выписано количество выбитых очков для каждого из 10 выстрелов.

Вычислите среднее значение и дисперсию для первого стрелка; для второго стрелка. Сделайте выводы из проведённого исследования.

Расчет для первого стрелка

Дан ряд результатов первого стрелка: 7, 8, 7, 9, 10, 7, 8, 9, 10, 10.
Всего $n=10$ выстрелов.

1. Среднее значение (или среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех результатов, деленная на их количество.
Найдем сумму очков:
$\sum x_i = 7 + 8 + 7 + 9 + 10 + 7 + 8 + 9 + 10 + 10 = 85$.
Вычислим среднее значение:
$\bar{x}_1 = \frac{85}{10} = 8.5$.

2. Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений от их среднего значения. Формула для вычисления дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
Вычислим сумму квадратов отклонений:
$\sum (x_i - \bar{x}_1)^2 = 3 \cdot (7-8.5)^2 + 2 \cdot (8-8.5)^2 + 2 \cdot (9-8.5)^2 + 3 \cdot (10-8.5)^2$
$= 3 \cdot (-1.5)^2 + 2 \cdot (-0.5)^2 + 2 \cdot (0.5)^2 + 3 \cdot (1.5)^2 = 3 \cdot 2.25 + 2 \cdot 0.25 + 2 \cdot 0.25 + 3 \cdot 2.25 = 14.5$.
Вычислим дисперсию:
$D_1 = \frac{14.5}{10} = 1.45$.

Ответ: среднее значение для первого стрелка равно 8.5, дисперсия равна 1.45.

Расчет для второго стрелка

Дан ряд результатов второго стрелка: 7, 6, 8, 9, 9, 8, 9, 9, 8, 7.
Всего $n=10$ выстрелов.

1. Среднее значение.
Найдем сумму очков:
$\sum y_i = 7 + 6 + 8 + 9 + 9 + 8 + 9 + 9 + 8 + 7 = 80$.
Вычислим среднее значение:
$\bar{y}_2 = \frac{80}{10} = 8$.

2. Дисперсия.
Вычислим сумму квадратов отклонений:
$\sum (y_i - \bar{y}_2)^2 = 1 \cdot (6-8)^2 + 2 \cdot (7-8)^2 + 3 \cdot (8-8)^2 + 4 \cdot (9-8)^2$
$= 1 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 1^2 = 4 + 2 + 0 + 4 = 10$.
Вычислим дисперсию:
$D_2 = \frac{10}{10} = 1$.

Ответ: среднее значение для второго стрелка равно 8, дисперсия равна 1.

Выводы

Сравним показатели двух стрелков:
- Среднее значение у первого стрелка ($\bar{x}_1 = 8.5$) выше, чем у второго ($\bar{y}_2 = 8$). Это означает, что в среднем первый стрелок набирает больше очков.
- Дисперсия у первого стрелка ($D_1 = 1.45$) больше, чем у второго ($D_2 = 1$). Дисперсия показывает, насколько сильно результаты отклоняются от среднего. Меньшая дисперсия у второго стрелка говорит о том, что он стреляет более стабильно, а его результаты более предсказуемы.
Таким образом, первый стрелок является более метким в среднем, но второй — более стабильным.

Ответ: первый стрелок в среднем показывает более высокий результат (8.5 против 8), но его стрельба менее стабильна, чем у второго стрелка (дисперсия 1.45 против 1).

730. Шериф полиции, только вступивший в должность, упомянул о резком росте преступности в округе при старом шерифе и для убедительности показал диаграмму числа преступлений за два года, предшествующие его назначению (рис. 87). Действительно ли преступность резко возросла?

Число преступлений в округе

198

207

20... год

20... год

Годы

Рис. 87

730.

Для того чтобы объективно оценить, является ли рост преступности "резким", необходимо проанализировать данные не только визуально, но и математически. Диаграмма, представленная шерифом, может вводить в заблуждение.

1. Абсолютный рост. В первый год было зарегистрировано 198 преступлений, а во второй — 207. Абсолютное увеличение составило:

$207 - 198 = 9$ преступлений.

2. Относительный рост. Чтобы понять масштаб изменений, вычислим процентный рост по отношению к показателю первого года:

$\frac{\text{Новое значение} - \text{Старое значение}}{\text{Старое значение}} \times 100\% = \frac{9}{198} \times 100\% \approx 0.04545 \times 100\% \approx 4.55\%$

Рост составил примерно 4.55%. Такой рост, как правило, не считается "резким".

3. Анализ диаграммы. Визуальное впечатление резкого роста создается за счет графического приема: вертикальная ось на диаграмме начинается не с нуля. На это указывают волнообразные разрывы на столбиках. Из-за этого даже небольшая разница в значениях (9 преступлений) выглядит как значительный скачок, так как мы видим только "верхушки" столбиков. Если бы диаграмма была построена с началом оси в точке 0, разница в высоте столбиков была бы почти незаметной.

Таким образом, утверждение шерифа о "резком росте" является преувеличением, подкрепленным манипулятивной диаграммой.

Ответ: Нет, преступность не возросла резко. Рост составил всего 9 случаев, или примерно 4.55%, что является незначительным увеличением. Визуальный эффект "резкого роста" на диаграмме достигается за счет того, что вертикальная ось начинается не с нуля.

731. Ищем информацию.

Отклонение от среднего значения, дисперсия и связанная с ней величина — среднеквадратичное отклонение — являются ключевыми статистическими показателями, которые характеризуют разброс или изменчивость данных в некоторой совокупности. Они показывают, насколько сильно отдельные значения в наборе данных отличаются от их среднего арифметического.

Отклонение от среднего для каждого элемента данных вычисляется по формуле $x_i - \bar{x}$, где $x_i$ — это конкретное значение, а $\bar{x}$ — среднее арифметическое всех значений.

Дисперсия ($D$ или $\sigma^2$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений от их среднего. Она показывает, насколько данные "разбросаны". Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс. Формула для генеральной совокупности:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Маленькая дисперсия означает, что данные сгруппированы близко к среднему значению, а большая — что они сильно рассеяны.

Вот несколько примеров применения этих понятий:

Пример 1: Контроль качества на производстве.
Предположим, завод производит болты, номинальный диаметр которых должен составлять 10 мм. Чтобы проверить качество партии, из нее берут выборку болтов и измеряют их диаметр. Среднее значение покажет, насколько точна настройка станка в целом (в идеале, $\bar{x} = 10$ мм). Однако два станка могут иметь одинаковое среднее, но разное качество продукции. Дисперсия (или среднеквадратичное отклонение) покажет стабильность работы станка. Если дисперсия мала, все болты имеют диаметр, очень близкий к 10 мм. Если дисперсия велика, это означает большой разброс диаметров — некоторые болты слишком тонкие, другие слишком толстые, то есть много брака. Таким образом, дисперсия является мерой стабильности и качества производственного процесса.

Пример 2: Финансы и инвестиции.
В финансах дисперсия и среднеквадратичное отклонение доходности актива (например, акции) используются как основная мера риска. Инвестор может рассматривать две акции с одинаковой средней годовой доходностью, скажем, 15%. Однако акция А может иметь низкую дисперсию доходности — ее цена меняется плавно. Акция Б может иметь высокую дисперсию — ее цена подвержена резким колебаниям (высокая волатильность). Несмотря на одинаковую среднюю доходность, акция Б является гораздо более рискованной. Консервативный инвестор предпочтет акцию А с низкой дисперсией, в то время как инвестор, склонный к риску, может выбрать акцию Б в надежде на сверхприбыль в удачный период. Таким образом, дисперсия помогает оценить инвестиционный риск.

Пример 3: Метеорология.
При анализе климата сравнивают не только средние температуры в разных городах, но и их дисперсию. Например, два города могут иметь одинаковую среднегодовую температуру +10°C. Однако один город находится на побережье океана (например, Сан-Франциско), и температура там стабильна круглый год (низкая дисперсия). Другой город находится в глубине континента (например, Новосибирск), где жаркое лето и очень холодная зима, что дает огромный разброс температур (высокая дисперсия). Дисперсия в данном случае характеризует "континентальность" и экстремальность климата.

Ответ: Отклонение от среднего и дисперсия используются для количественной оценки разброса или изменчивости данных. Примеры применения включают контроль качества в производстве (оценка стабильности процесса), финансы (оценка риска и волатильности активов) и метеорологию (характеристика стабильности или экстремальности климата).

731. Ищем информацию. Используя данные из справочной литературы и Интернета, приведите примеры применения отклонений от среднего значения и дисперсии для характеристики совокупности данных.

Отклонение от среднего значения и дисперсия являются фундаментальными статистическими мерами, которые позволяют охарактеризовать набор данных не только с точки зрения его «центра», но и с точки зрения его разброса, изменчивости и однородности. Эти показатели находят широкое применение в различных сферах деятельности.

Применение отклонений от среднего значения

Отклонение от среднего значения — это разность между конкретным значением в выборке и средним арифметическим этой выборки ($x_i - \bar{x}$). Этот показатель демонстрирует, насколько отдельный элемент данных отличается от «типичного» значения. Основная его функция — оценка индивидуальных наблюдений в контексте всей группы.

Пример 1: Метеорология.

Климатологи рассчитывают среднюю температуру для каждого дня года на основе многолетних наблюдений. Допустим, средняя температура для 15 октября в Москве составляет +6 °C. Если в текущем году 15 октября температура составила +11 °C, то отклонение от среднего будет $11 - 6 = +5$ °C. Когда в прогнозе погоды говорят, что «температура на 5 градусов выше нормы», имеется в виду именно это отклонение. Оно помогает нам понять, насколько погода в конкретный день является аномальной или типичной для сезона.

Пример 2: Контроль успеваемости в образовании.

Предположим, средний балл за контрольную работу в классе составил 78 баллов. Ученик получил 93 балла. Его отклонение от среднего равно $93 - 78 = +15$ баллов. Другой ученик получил 70 баллов, и его отклонение составляет $70 - 78 = -8$ баллов. Эти значения позволяют учителю быстро оценить успеваемость каждого ученика относительно всего класса, выявить как отличников, так и тех, кому может потребоваться дополнительная помощь.

Ответ: Отклонение от среднего значения используется для анализа индивидуальных данных в сравнении со средним показателем всей совокупности, что позволяет оценить, является ли конкретное значение типичным, выдающимся или аномально низким в данном контексте.

Применение дисперсии

Дисперсия — это мера разброса данных, которая показывает, насколько значения в наборе данных в среднем отклоняются от их среднего арифметического. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений: $D(X) = \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$. Поскольку дисперсия измеряется в квадратных единицах (например, квадратные градусы или квадратные рубли), для удобства интерпретации часто используют квадратный корень из дисперсии — стандартное (или среднеквадратическое) отклонение ($\sigma$). Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Пример 1: Финансы и оценка рисков.

Инвесторы используют дисперсию и стандартное отклонение для измерения волатильности (рискованности) активов, например, акций. Рассмотрим две акции, А и Б, обе с одинаковой средней годовой доходностью 12%.
- Акция А имеет низкое стандартное отклонение, скажем, 2%. Это означает, что её доходность, скорее всего, будет колебаться в узком диапазоне вокруг 12% (например, от 10% до 14%). Это стабильный, низкорисковый актив.
- Акция Б имеет высокое стандартное отклонение, например, 20%. Её доходность может сильно меняться из года в год (например, от -8% до +32%). Это более рискованный, волатильный актив, который может принести как большой доход, так и большие убытки.
Таким образом, дисперсия помогает инвестору выбрать актив, соответствующий его готовности к риску.

Пример 2: Контроль качества на производстве.

Завод производит детали, например, подшипники с заданным диаметром 50 мм. Даже самый точный станок имеет небольшие погрешности. Для контроля качества из партии берут выборку деталей и измеряют их диаметр. Средний диаметр может быть равен 50 мм, но это еще не говорит о качестве. Если дисперсия диаметров велика, это означает, что многие детали либо слишком большие, либо слишком маленькие, и вся партия может быть бракованной. Если же дисперсия мала, это свидетельствует о стабильности производственного процесса и высоком качестве продукции — почти все детали имеют размер, очень близкий к эталонному. Рост дисперсии со временем может сигнализировать об износе оборудования.

Ответ: Дисперсия (и стандартное отклонение) применяется для количественной оценки степени разброса или изменчивости данных в совокупности. Этот показатель является ключевым для оценки стабильности процессов (производство), измерения рисков (финансы) и определения однородности данных в научных и социальных исследованиях.

732. Доказываем. Докажите свойства дисперсии:

а) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится;

б) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) в $k$ раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в $k^2$ раз.

а) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится;

Пусть дана совокупность числовых значений $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этой совокупности равно $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

Дисперсия $D(X)$ по определению равна среднему квадрату отклонений от среднего:

$D(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

Теперь изменим каждое значение на одну и ту же постоянную величину $c$. Новая совокупность $Y$ будет иметь вид: $y_1 = x_1 + c, y_2 = x_2 + c, \dots, y_n = x_n + c$. Знак константы $c$ определяет, увеличиваются или уменьшаются значения.

Найдем среднее арифметическое новой совокупности $\bar{y}$:

$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i + c) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}c) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{nc}{n} = \bar{x} + c$.

Как видим, среднее арифметическое также изменилось на величину $c$.

Теперь вычислим новую дисперсию $D(Y)$ для совокупности $y_i$:

$D(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$.

Подставим выражения для $y_i$ и $\bar{y}$:

$D(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i + c) - (\bar{x} + c))^2$.

Упростим выражения в скобках: $(x_i + c) - (\bar{x} + c) = x_i + c - \bar{x} - c = x_i - \bar{x}$.

Тогда формула для новой дисперсии примет вид:

$D(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

Полученное выражение в точности совпадает с исходной дисперсией $D(X)$. Таким образом, $D(Y) = D(X)$.

Это доказывает, что при увеличении или уменьшении каждого значения совокупности на постоянную величину, дисперсия не изменяется.

Ответ: Утверждение доказано.

б) если все числовые значения совокупности уменьшить (увеличить) в k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k² раз.

Пусть дана та же исходная совокупность $x_1, x_2, \dots, x_n$ со средним значением $\bar{x}$ и дисперсией $D(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

Теперь изменим каждое значение в $k$ раз, где $k$ - постоянный множитель ($k \neq 0$). Новая совокупность $Z$ будет иметь вид: $z_1 = k \cdot x_1, z_2 = k \cdot x_2, \dots, z_n = k \cdot x_n$.

Найдем среднее арифметическое новой совокупности $\bar{z}$:

$\bar{z} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}z_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(k \cdot x_i) = k \cdot (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i) = k \cdot \bar{x}$.

Среднее арифметическое также изменилось в $k$ раз.

Вычислим новую дисперсию $D(Z)$ для совокупности $z_i$:

$D(Z) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(z_i - \bar{z})^2$.

Подставим значения $z_i = k \cdot x_i$ и $\bar{z} = k \cdot \bar{x}$:

$D(Z) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(k \cdot x_i - k \cdot \bar{x})^2$.

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в каждом слагаемом и воспользуемся свойством степени $(ab)^2 = a^2b^2$:

$(k \cdot x_i - k \cdot \bar{x})^2 = (k(x_i - \bar{x}))^2 = k^2(x_i - \bar{x})^2$.

Тогда выражение для дисперсии примет вид:

$D(Z) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}k^2(x_i - \bar{x})^2$.

Вынесем постоянный множитель $k^2$ за знак суммы:

$D(Z) = k^2 \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right)$.

Выражение в скобках является исходной дисперсией $D(X)$. Следовательно, $D(Z) = k^2 \cdot D(X)$.

Это доказывает, что при увеличении или уменьшении каждого значения совокупности в $k$ раз, дисперсия изменяется в $k^2$ раз.

Ответ: Утверждение доказано.