Номер 730, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

730. Шериф полиции, только вступивший в должность, упомянул о резком росте преступности в округе при старом шерифе и для убедительности показал диаграмму числа преступлений за два года, предшествующие его назначению (рис. 87). Действительно ли преступность резко возросла?

Число преступлений в округе

198

207

20... год

20... год

Годы

Рис. 87

730.

Для того чтобы объективно оценить, является ли рост преступности "резким", необходимо проанализировать данные не только визуально, но и математически. Диаграмма, представленная шерифом, может вводить в заблуждение.

1. Абсолютный рост. В первый год было зарегистрировано 198 преступлений, а во второй — 207. Абсолютное увеличение составило:

$207 - 198 = 9$ преступлений.

2. Относительный рост. Чтобы понять масштаб изменений, вычислим процентный рост по отношению к показателю первого года:

$\frac{\text{Новое значение} - \text{Старое значение}}{\text{Старое значение}} \times 100\% = \frac{9}{198} \times 100\% \approx 0.04545 \times 100\% \approx 4.55\%$

Рост составил примерно 4.55%. Такой рост, как правило, не считается "резким".

3. Анализ диаграммы. Визуальное впечатление резкого роста создается за счет графического приема: вертикальная ось на диаграмме начинается не с нуля. На это указывают волнообразные разрывы на столбиках. Из-за этого даже небольшая разница в значениях (9 преступлений) выглядит как значительный скачок, так как мы видим только "верхушки" столбиков. Если бы диаграмма была построена с началом оси в точке 0, разница в высоте столбиков была бы почти незаметной.

Таким образом, утверждение шерифа о "резком росте" является преувеличением, подкрепленным манипулятивной диаграммой.

Ответ: Нет, преступность не возросла резко. Рост составил всего 9 случаев, или примерно 4.55%, что является незначительным увеличением. Визуальный эффект "резкого роста" на диаграмме достигается за счет того, что вертикальная ось начинается не с нуля.

731. Ищем информацию.

Отклонение от среднего значения, дисперсия и связанная с ней величина — среднеквадратичное отклонение — являются ключевыми статистическими показателями, которые характеризуют разброс или изменчивость данных в некоторой совокупности. Они показывают, насколько сильно отдельные значения в наборе данных отличаются от их среднего арифметического.

Отклонение от среднего для каждого элемента данных вычисляется по формуле $x_i - \bar{x}$, где $x_i$ — это конкретное значение, а $\bar{x}$ — среднее арифметическое всех значений.

Дисперсия ($D$ или $\sigma^2$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений от их среднего. Она показывает, насколько данные "разбросаны". Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс. Формула для генеральной совокупности:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Маленькая дисперсия означает, что данные сгруппированы близко к среднему значению, а большая — что они сильно рассеяны.

Вот несколько примеров применения этих понятий:

Пример 1: Контроль качества на производстве.
Предположим, завод производит болты, номинальный диаметр которых должен составлять 10 мм. Чтобы проверить качество партии, из нее берут выборку болтов и измеряют их диаметр. Среднее значение покажет, насколько точна настройка станка в целом (в идеале, $\bar{x} = 10$ мм). Однако два станка могут иметь одинаковое среднее, но разное качество продукции. Дисперсия (или среднеквадратичное отклонение) покажет стабильность работы станка. Если дисперсия мала, все болты имеют диаметр, очень близкий к 10 мм. Если дисперсия велика, это означает большой разброс диаметров — некоторые болты слишком тонкие, другие слишком толстые, то есть много брака. Таким образом, дисперсия является мерой стабильности и качества производственного процесса.

Пример 2: Финансы и инвестиции.
В финансах дисперсия и среднеквадратичное отклонение доходности актива (например, акции) используются как основная мера риска. Инвестор может рассматривать две акции с одинаковой средней годовой доходностью, скажем, 15%. Однако акция А может иметь низкую дисперсию доходности — ее цена меняется плавно. Акция Б может иметь высокую дисперсию — ее цена подвержена резким колебаниям (высокая волатильность). Несмотря на одинаковую среднюю доходность, акция Б является гораздо более рискованной. Консервативный инвестор предпочтет акцию А с низкой дисперсией, в то время как инвестор, склонный к риску, может выбрать акцию Б в надежде на сверхприбыль в удачный период. Таким образом, дисперсия помогает оценить инвестиционный риск.

Пример 3: Метеорология.
При анализе климата сравнивают не только средние температуры в разных городах, но и их дисперсию. Например, два города могут иметь одинаковую среднегодовую температуру +10°C. Однако один город находится на побережье океана (например, Сан-Франциско), и температура там стабильна круглый год (низкая дисперсия). Другой город находится в глубине континента (например, Новосибирск), где жаркое лето и очень холодная зима, что дает огромный разброс температур (высокая дисперсия). Дисперсия в данном случае характеризует "континентальность" и экстремальность климата.

Ответ: Отклонение от среднего и дисперсия используются для количественной оценки разброса или изменчивости данных. Примеры применения включают контроль качества в производстве (оценка стабильности процесса), финансы (оценка риска и волатильности активов) и метеорологию (характеристика стабильности или экстремальности климата).