Страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

781. В опыте подбрасывают две монеты. Сколько всего исходов в этом опыте? Сколько исходов благоприятствует событию:

а) $A$ — «выпало два герба»;

б) $B$ — «выпало две решки»;

в) $C$ — «выпали герб и решка»?

Какие исходы опыта благоприятствуют каждому из событий $A, B, C$? Какие из этих событий являются элементарными событиями?

Для решения задачи определим все возможные исходы опыта. Обозначим выпадение герба буквой «Г», а решки — буквой «Р». При подбрасывании двух монет возможны следующие элементарные исходы, где на первом месте стоит результат первой монеты, а на втором — результат второй:

(Г, Г) — на обеих монетах выпал герб;

(Р, Р) — на обеих монетах выпала решка;

(Г, Р) — на первой монете выпал герб, на второй — решка;

(Р, Г) — на первой монете выпала решка, на второй — герб.

Таким образом, всего в этом опыте возможно 4 различных исхода. Это ответ на первый вопрос.

Теперь рассмотрим каждое событие отдельно.

а) A — «выпало два герба»

Этому событию соответствует только один из четырех возможных исходов: (Г, Г). Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию A, равно 1.
Ответ: 1 исход.

б) B — «выпало две решки»

Этому событию соответствует только один исход: (Р, Р). Число исходов, благоприятствующих событию B, равно 1.
Ответ: 1 исход.

в) C — «выпали герб и решка»

Это событие наступает в двух случаях: когда на первой монете герб, а на второй решка (Г, Р), или когда на первой решка, а на второй герб (Р, Г). Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию C, равно 2.
Ответ: 2 исхода.

Какие исходы опыта благоприятствуют каждому из событий A, B, C? Какие из этих событий являются элементарными событиями?

Благоприятствующие исходы для каждого события:

• Для события A: (Герб, Герб).
• Для события B: (Решка, Решка).
• Для события C: (Герб, Решка), (Решка, Герб).

Элементарное событие — это событие, состоящее из одного-единственного исхода. События A и B состоят ровно из одного исхода каждое, поэтому они являются элементарными. Событие C состоит из двух исходов, поэтому оно является составным (не элементарным).
Ответ: Событию A благоприятствует исход (Герб, Герб); событию B — (Решка, Решка); событию C — (Герб, Решка) и (Решка, Герб). Элементарными событиями являются A и B.

782. В опыте из колоды в 36 карт извлекают две карты. Сколько исходов благоприятствует событию:

а) A — «извлечены две карты чёрной масти»;

б) B — «извлечены две карты красной масти»;

в) C — «извлечены две карты: одна чёрной масти, другая красной»?

Для решения задачи воспользуемся комбинаторикой. В колоде из 36 карт имеется 18 карт чёрной масти (пики и трефы) и 18 карт красной масти (черви и бубны). Поскольку порядок извлечения карт не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, из которых производится выбор, а $k$ — количество выбираемых элементов.

а) A — «извлечены две карты чёрной масти»

Событие A наступает, если обе извлечённые карты являются чёрными. В колоде 18 чёрных карт. Нам нужно найти количество способов выбрать 2 карты из этих 18. Для этого рассчитаем число сочетаний из 18 по 2.

Количество благоприятствующих исходов для события A:

$N(A) = C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153$.

Ответ: 153

б) B — «извлечены две карты красной масти»

Событие B наступает, если обе извлечённые карты являются красными. В колоде 18 красных карт. Расчёт аналогичен предыдущему пункту: нужно найти количество способов выбрать 2 карты из 18 красных.

Количество благоприятствующих исходов для события B:

$N(B) = C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153$.

Ответ: 153

в) C — «извлечены две карты: одна чёрной масти, другая красной»

Событие C наступает, если извлечена одна чёрная карта и одна красная. Чтобы найти количество таких исходов, нужно использовать правило произведения: умножить количество способов выбрать одну чёрную карту на количество способов выбрать одну красную карту.

Количество способов выбрать 1 чёрную карту из 18: $C_{18}^1 = 18$.

Количество способов выбрать 1 красную карту из 18: $C_{18}^1 = 18$.

Общее количество благоприятствующих исходов для события C:

$N(C) = C_{18}^1 \cdot C_{18}^1 = 18 \cdot 18 = 324$.

Ответ: 324

783. Сколько событий может произойти в опыте подбрасывания игрального кубика?

В опыте с подбрасыванием игрального кубика существует 6 возможных исходов, которые называют элементарными событиями. Это выпадение одного из чисел на гранях кубика: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Множество всех элементарных событий (пространство элементарных событий) обозначается как $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Однако, в теории вероятностей под событием понимают любое подмножество множества элементарных событий. То есть, событие — это не только один конкретный исход, но и любая их комбинация. Например, событием является «выпадение четного числа» (которому соответствует подмножество $\{2, 4, 6\}$), «выпадение числа, меньшего 3» (подмножество $\{1, 2\}$) или «выпадение числа 5» (подмножество $\{5\}$).

К событиям также относят:

• Невозможное событие — событие, которое никогда не произойдет (например, «выпало число 7»). Ему соответствует пустое подмножество $\emptyset$.
• Достоверное событие — событие, которое произойдет обязательно (например, «выпало число от 1 до 6»). Ему соответствует все пространство элементарных событий $\Omega$.

Чтобы найти общее количество всех возможных событий, необходимо вычислить количество всех подмножеств множества $\Omega$. Для множества, состоящего из $n$ элементов, число всех его подмножеств равно $2^n$.

В данном опыте число элементарных событий $n = 6$. Следовательно, общее число всех возможных событий составляет:

$2^6 = 64$

Таким образом, с математической точки зрения, в опыте с подбрасыванием одного игрального кубика может произойти 64 различных события.

Ответ: 64