Страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

791. В опыте первый ученик просит второго случайным образом назвать однозначное натуральное число. Рассматриваются события: A — «названо чётное число», B — «названо нечётное число», C — «названо число, кратное 3», D — «названо простое число». Сколько исходов в этом опыте благоприятствует событию:

а) $A + B$; б) $A \cdot B$; в) $A - B$; г) $B - A$; д) $A + C$; е) $A \cdot C$; ж) $A - C$; з) $C - A$; и) $D + B$; к) $D \cdot B$; л) $D - B$; м) $B - D?$;

Для решения задачи сначала определим множества исходов для каждого из событий. Пространство элементарных исходов (все возможные однозначные натуральные числа) — это множество $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

• Событие A: «названо чётное число». Множество исходов: $A = \{2, 4, 6, 8\}$.
• Событие B: «названо нечётное число». Множество исходов: $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$.
• Событие C: «названо число, кратное 3». Множество исходов: $C = \{3, 6, 9\}$.
• Событие D: «названо простое число». Множество исходов: $D = \{2, 3, 5, 7\}$.

Теперь найдем количество исходов для каждого из указанных событий.

а) A + B; Это событие-сумма (объединение $A \cup B$), которое означает, что названо либо чётное число, либо нечётное. Объединив множества A и B, получим: $A \cup B = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Это множество содержит все возможные исходы. Количество благоприятствующих исходов: 9.
Ответ: 9

б) A · B; Это событие-произведение (пересечение $A \cap B$), которое означает, что названное число является одновременно и чётным, и нечётным. Таких чисел не существует, поэтому пересечение множеств A и B является пустым множеством: $A \cap B = \emptyset$. Количество благоприятствующих исходов: 0.
Ответ: 0

в) A – B; Это событие-разность ($A \setminus B$), которое означает, что названное число является чётным, но не является нечётным. Поскольку множества A и B не пересекаются, разность $A \setminus B$ совпадает с множеством A. $A \setminus B = \{2, 4, 6, 8\}$. Количество благоприятствующих исходов: 4.
Ответ: 4

г) B – A; Это событие-разность ($B \setminus A$), которое означает, что названное число является нечётным, но не является чётным. Поскольку множества A и B не пересекаются, разность $B \setminus A$ совпадает с множеством B. $B \setminus A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$. Количество благоприятствующих исходов: 5.
Ответ: 5

д) A + C; Это событие-сумма ($A \cup C$), означающее, что названное число либо чётное, либо кратно 3. Объединение множеств: $A \cup C = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{3, 6, 9\} = \{2, 3, 4, 6, 8, 9\}$. Количество благоприятствующих исходов: 6.
Ответ: 6

е) A · C; Это событие-произведение ($A \cap C$), означающее, что названное число одновременно и чётное, и кратно 3. Пересечение множеств: $A \cap C = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{3, 6, 9\} = \{6\}$. Количество благоприятствующих исходов: 1.
Ответ: 1

ж) A – C; Это событие-разность ($A \setminus C$), означающее, что названное число является чётным, но не кратно 3. $A \setminus C = \{2, 4, 6, 8\} \setminus \{3, 6, 9\} = \{2, 4, 8\}$. Количество благоприятствующих исходов: 3.
Ответ: 3

з) C – A; Это событие-разность ($C \setminus A$), означающее, что названное число кратно 3, но не является чётным. $C \setminus A = \{3, 6, 9\} \setminus \{2, 4, 6, 8\} = \{3, 9\}$. Количество благоприятствующих исходов: 2.
Ответ: 2

и) D + B; Это событие-сумма ($D \cup B$), означающее, что названное число либо простое, либо нечётное. Объединение множеств: $D \cup B = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$. Количество благоприятствующих исходов: 6.
Ответ: 6

к) D · B; Это событие-произведение ($D \cap B$), означающее, что названное число одновременно и простое, и нечётное. Пересечение множеств: $D \cap B = \{2, 3, 5, 7\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{3, 5, 7\}$. Количество благоприятствующих исходов: 3.
Ответ: 3

л) D – B; Это событие-разность ($D \setminus B$), означающее, что названное число является простым, но не является нечётным (то есть, чётное простое число). $D \setminus B = \{2, 3, 5, 7\} \setminus \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{2\}$. Количество благоприятствующих исходов: 1.
Ответ: 1

м) B – D? Это событие-разность ($B \setminus D$), означающее, что названное число является нечётным, но не является простым. $B \setminus D = \{1, 3, 5, 7, 9\} \setminus \{2, 3, 5, 7\} = \{1, 9\}$. Количество благоприятствующих исходов: 2.
Ответ: 2

792. В предыдущем задании найдите события противоположные событиям $A, B, C$ и $D$, а также достоверные и невозможные события. Вычислите вероятность каждого события.

Для решения этой задачи необходимо обратиться к условиям предыдущего задания. Будем исходить из того, что в предыдущем задании (№ 791) рассматривался следующий эксперимент: в коробке находится 12 карандашей, из которых 3 красных, 4 синих и 5 черных. Случайным образом вынимают один карандаш. Общее число всех возможных исходов равно 12. Были определены следующие события:

• A — вынут красный карандаш.
• B — вынут синий карандаш.
• C — вынут черный карандаш.
• D — вынут цветной (не черный) карандаш.

Вероятности этих событий: $P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$, $P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $P(C) = \frac{5}{12}$, $P(D) = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12}$.

Теперь найдем противоположные события для A, B, C и D, а также достоверное и невозможное события и их вероятности.

Противоположное событию A

Событие A — «вынут красный карандаш». Противоположное ему событие $\bar{A}$ заключается в том, что вынут карандаш любого другого цвета, то есть «вынут не красный карандаш» (синий или черный). Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: Противоположное событию A событие — «вынут не красный карандаш»; его вероятность равна $\frac{3}{4}$.

Противоположное событию B

Событие B — «вынут синий карандаш». Противоположное ему событие $\bar{B}$ — «вынут не синий карандаш» (красный или черный). Вероятность этого события: $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: Противоположное событию B событие — «вынут не синий карандаш»; его вероятность равна $\frac{2}{3}$.

Противоположное событию C

Событие C — «вынут черный карандаш». Противоположное ему событие $\bar{C}$ — «вынут не черный карандаш» (красный или синий). Заметим, что это событие совпадает с событием D. Вероятность этого события: $P(\bar{C}) = 1 - P(C)$.
$P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$.
Ответ: Противоположное событию C событие — «вынут не черный карандаш»; его вероятность равна $\frac{7}{12}$.

Противоположное событию D

Событие D — «вынут цветной (не черный) карандаш». Противоположное ему событие $\bar{D}$ — «вынут не цветной карандаш», что означает «вынут черный карандаш». Это событие совпадает с событием C. Вероятность этого события: $P(\bar{D}) = 1 - P(D)$.
$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
Ответ: Противоположное событию D событие — «вынут черный карандаш»; его вероятность равна $\frac{5}{12}$.

Достоверное событие

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате эксперимента. В данном случае примером достоверного события может быть «вынут карандаш» или «вынут карандаш красного, синего или черного цвета», так как в коробке нет карандашей других цветов. Число благоприятных исходов для такого события равно общему числу исходов (12).
Вероятность достоверного события всегда равна 1.
$P(\text{достоверное}) = \frac{12}{12} = 1$.
Ответ: Пример достоверного события — «вынут карандаш красного, синего или черного цвета»; его вероятность равна 1.

Невозможное событие

Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента. В данном случае примером невозможного события является «вынут зеленый карандаш», так как карандашей такого цвета в коробке нет. Число благоприятных исходов для такого события равно 0.
Вероятность невозможного события всегда равна 0.
$P(\text{невозможное}) = \frac{0}{12} = 0$.
Ответ: Пример невозможного события — «вынут зеленый карандаш»; его вероятность равна 0.

793. Спортивный комментатор оценил вероятность победы лыжника Иванова в 90%. Какова вероятность (по оценке спортивного комментатора) того, что Иванов не победит?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием противоположных событий в теории вероятностей. Событие "Иванов не победит" является противоположным событию "Иванов победит". Сумма вероятностей двух противоположных событий всегда равна 1 (или 100%).

Пусть событие $A$ заключается в том, что лыжник Иванов победит. По условию, вероятность этого события равна 90%.

$P(A) = 90\% = \frac{90}{100} = 0.9$

Пусть событие $\bar{A}$ (читается как "не А") заключается в том, что лыжник Иванов не победит. Это и есть искомая вероятность.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Чтобы найти вероятность того, что Иванов не победит, $P(\bar{A})$, нужно из единицы вычесть вероятность того, что он победит:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.9 = 0.1$

Переведем полученное значение обратно в проценты, умножив его на 100%:

$0.1 \cdot 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

794. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех равновероятных исходов.

1. Найдем общее число исходов.

В сборнике всего 25 билетов. Школьник может вытянуть любой из них, поэтому общее число равновероятных исходов $N$ равно 25.

$N = 25$

2. Найдем число благоприятных исходов.

Нас интересует событие, при котором в вытянутом билете не будет вопроса о грибах. По условию, вопрос о грибах встречается в 2 билетах. Следовательно, количество билетов, в которых нет вопроса о грибах, равно:

$m = 25 - 2 = 23$

Таким образом, число благоприятных исходов $m$ равно 23.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность $P$ того, что в случайно выбранном билете не будет вопроса о грибах, вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{N}$

Подставим найденные значения:

$P = \frac{23}{25}$

Для удобства представим эту дробь в виде десятичного числа:

$P = \frac{23}{25} = \frac{23 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{92}{100} = 0.92$

Ответ: 0.92

795. В опыте бросают игральный кубик. Какова вероятность события:

а) $M$ — «не выпало простое число очков»;

б) $N$ — «не выпало число очков, кратное 3»;

в) $K$ — «не выпало число очков, кратное 2 или 3»?

В задаче рассматривается стандартный игральный кубик с 6 гранями, на которых нанесены числа от 1 до 6. При броске кубика каждый из этих 6 исходов является равновероятным. Таким образом, общее число всех возможных исходов равно $n=6$.

Вероятность любого события A вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

а) M — «не выпало простое число очков»

Для начала определим, какие числа из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6} являются простыми. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: единицу и само себя. В нашем наборе простыми являются числа 2, 3 и 5. Число 1 по определению не является ни простым, ни составным.

Событие M состоит в том, что выпавшее число не является простым. К таким числам относятся 1, 4 и 6. Количество исходов, благоприятствующих событию M, равно $m=3$.

Следовательно, вероятность события M равна:

$P(M) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $P(M) = \frac{1}{2}$

б) N — «не выпало число очков, кратное 3»

Найдем числа из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6}, которые кратны 3, то есть делятся на 3 без остатка. Это числа 3 и 6.

Событие N состоит в том, что выпавшее число не кратно 3. К таким числам относятся все остальные: 1, 2, 4 и 5. Количество исходов, благоприятствующих событию N, равно $m=4$.

Следовательно, вероятность события N равна:

$P(N) = \frac{m}{n} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $P(N) = \frac{2}{3}$

в) K — «не выпало число очков, кратное 2 или 3»

Найдем числа из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6}, которые кратны 2 или 3. Это означает, что число должно делиться на 2, или на 3, или на оба этих числа.

• Числа, кратные 2: {2, 4, 6}.
• Числа, кратные 3: {3, 6}.

Объединяя эти два множества, получаем числа, кратные 2 или 3: {2, 3, 4, 6}.

Событие K состоит в том, что выпавшее число не кратно ни 2, ни 3. Это все числа из исходного набора, которые не вошли в множество {2, 3, 4, 6}. Такими числами являются 1 и 5. Количество исходов, благоприятствующих событию K, равно $m=2$.

Следовательно, вероятность события K равна:

$P(K) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $P(K) = \frac{1}{3}$