Страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

796. В опыте из колоды (36 карт) случайным образом извлекают карту. Рассматриваются события $A$ — «извлечён король», $B$ — «извлечён валет», $C$ — «извлечена трефовая карта», $D$ — «извлечена бубновая карта». Какие из следующих событий являются несовместными $A$ и $B$; $A$ и $C$; $B$ и $C$; $A$ и $D$?

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. То есть, появление одного из них исключает появление другого. Если пересечение двух событий $X$ и $Y$ является пустым множеством ($X \cap Y = \varnothing$), то такие события несовместны.

В данной задаче рассматривается колода из 36 карт.
Событие A — «извлечён король». В колоде 4 короля (пиковый, трефовый, бубновый, червовый).
Событие B — «извлечён валет». В колоде 4 валета (пиковый, трефовый, бубновый, червовый).
Событие C — «извлечена трефовая карта». В колоде 9 карт трефовой масти (от 6 до туза).
Событие D — «извлечена бубновая карта». В колоде 9 карт бубновой масти (от 6 до туза).

A и B: Событие A — «извлечён король», событие B — «извлечён валет». Одна и та же карта не может быть одновременно и королём, и валетом, так как у каждой карты только один ранг. Следовательно, эти события не могут произойти одновременно.
Ответ: являются несовместными.

A и C: Событие A — «извлечён король», событие C — «извлечена трефовая карта». Эти события могут произойти одновременно, если будет извлечена карта «король треф». Такая карта существует в колоде. Следовательно, эти события не являются несовместными (они совместны).
Ответ: не являются несовместными.

B и C: Событие B — «извлечён валет», событие C — «извлечена трефовая карта». Эти события могут произойти одновременно, если будет извлечена карта «валет треф». Такая карта существует в колоде. Следовательно, эти события не являются несовместными.
Ответ: не являются несовместными.

A и D: Событие A — «извлечён король», событие D — «извлечена бубновая карта». Эти события могут произойти одновременно, если будет извлечена карта «король бубен». Такая карта существует в колоде. Следовательно, эти события не являются несовместными.
Ответ: не являются несовместными.

797. Приведите примеры несовместных событий в опыте с бросанием игрального кубика.

В теории вероятностей два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. Это означает, что наступление одного из этих событий полностью исключает наступление другого. Математически это выражается так: пересечение множеств исходов, благоприятствующих этим событиям, является пустым множеством. Если $A$ и $B$ — несовместные события, то их пересечение $A \cap B = \emptyset$.

Рассмотрим опыт с бросанием стандартного игрального кубика, у которого 6 граней с числами от 1 до 6. Пространство элементарных исходов этого опыта — это множество $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ниже приведены несколько примеров несовместных событий для этого опыта.

Пример 1

Пусть событие $A$ — «выпало чётное число», а событие $B$ — «выпало нечётное число».

Множество исходов, благоприятствующих событию $A$, это $A = \{2, 4, 6\}$.
Множество исходов, благоприятствующих событию $B$, это $B = \{1, 3, 5\}$.

Эти события являются несовместными, так как выпавшее число не может быть одновременно и чётным, и нечётным. Пересечение множеств этих событий пусто: $A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \emptyset$.

Ответ: События «выпало чётное число» и «выпало нечётное число» являются несовместными.

Пример 2

Пусть событие $C$ — «выпало число, меньшее 3», а событие $D$ — «выпало число, большее 4».

Множество исходов для события $C$ — это $C = \{1, 2\}$.
Множество исходов для события $D$ — это $D = \{5, 6\}$.

Эти события несовместны, так как ни один из возможных исходов (от 1 до 6) не может быть одновременно меньше 3 и больше 4. Их множества исходов не пересекаются: $C \cap D = \{1, 2\} \cap \{5, 6\} = \emptyset$.

Ответ: События «выпало число, меньшее 3» и «выпало число, большее 4» являются несовместными.

Пример 3

Пусть событие $E$ — «выпала 1», а событие $F$ — «выпала 6».

Множество исходов для события $E$ — это $E = \{1\}$.
Множество исходов для события $F$ — это $F = \{6\}$.

Эти события, являющиеся элементарными исходами, по определению несовместны, так как при одном броске кубика не может выпасть одновременно и 1, и 6. Пересечение их множеств пусто: $E \cap F = \{1\} \cap \{6\} = \emptyset$.

Ответ: События «выпала 1» и «выпала 6» являются несовместными.

798. В опыте из колоды (36 карт) случайным образом извлекают карту. Рассматриваются события $A$ — «извлечён король» и $B$ — «извлечён валет». Определите вероятность события $C = A + B$.

В задаче рассматривается случайное извлечение одной карты из колоды, состоящей из 36 карт. Общее число равновозможных исходов этого эксперимента $n=36$.

Даны два события:

• Событие $A$ — «извлечён король».
• Событие $B$ — «извлечён валет».

Требуется найти вероятность события $C = A + B$. Сумма событий $A+B$ означает, что произойдет либо событие $A$, либо событие $B$. В данном случае это означает, что будет извлечен либо король, либо валет.

События $A$ и $B$ являются несовместными, так как при извлечении одной карты она не может быть одновременно и королём, и валетом. Извлечение короля исключает извлечение валета и наоборот.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Формула выглядит следующим образом:

$P(C) = P(A+B) = P(A) + P(B)$

Сначала найдем вероятность события $A$. В колоде из 36 карт есть 4 короля (один каждой масти). Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию $A$, равно $m_A = 4$.

Вероятность события $A$ по классическому определению вероятности равна:

$P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Теперь найдем вероятность события $B$. В колоде также 4 валета. Число исходов, благоприятствующих событию $B$, равно $m_B = 4$.

Вероятность события $B$ равна:

$P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Теперь мы можем вычислить вероятность события $C$, сложив вероятности событий $A$ и $B$:

$P(C) = P(A) + P(B) = \frac{4}{36} + \frac{4}{36} = \frac{8}{36}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$P(C) = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

799. В опыте из колоды (36 карт) случайным образом извлекают карту. Рассматриваются события $A$ — «извлечён король» и $B$ — «извлечена бубновая карта». Определите вероятности событий $A$, $B$, $A \cdot B$. Определите вероятность события $D$ — «извлечён король или бубновая карта».

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. В колоде 36 карт, поэтому общее число исходов $n=36$.

A

Событие A заключается в том, что извлечена карта «король». В стандартной колоде из 36 карт содержится 4 короля (по одному каждой масти). Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m_A = 4$.

Вероятность события A рассчитывается по формуле:

$P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Ответ: $P(A) = \frac{1}{9}$

B

Событие B заключается в том, что извлечена «бубновая карта». В колоде 4 масти, и на каждую масть приходится $36 / 4 = 9$ карт. Следовательно, число карт бубновой масти равно 9, и число исходов, благоприятствующих событию B, составляет $m_B = 9$.

Вероятность события B:

$P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Ответ: $P(B) = \frac{1}{4}$

A · B

Событие $A \cdot B$ (произведение событий) означает, что произошло и событие A, и событие B одновременно. То есть, извлечённая карта — это и король, и карта бубновой масти. Такой картой является только «король бубен». В колоде такая карта одна, поэтому число благоприятствующих исходов $m_{A \cdot B} = 1$.

Вероятность события $A \cdot B$:

$P(A \cdot B) = \frac{m_{A \cdot B}}{n} = \frac{1}{36}$

Ответ: $P(A \cdot B) = \frac{1}{36}$

D

Событие D — «извлечён король или бубновая карта». Это событие является суммой событий A и B ($D = A + B$). Поскольку события A и B являются совместными (могут наступить одновременно, если вытянуть короля бубен), вероятность их суммы находится по теореме сложения вероятностей для совместных событий:

$P(D) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$

Используя ранее вычисленные вероятности, получаем:

$P(D) = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - \frac{1}{36}$

Приводя дроби к общему знаменателю 36:

$P(D) = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - \frac{1}{36} = \frac{4+9-1}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Также можно было посчитать число благоприятных исходов напрямую: в колоде 4 короля и 9 бубновых карт. Так как бубновый король посчитан дважды, общее число уникальных карт, удовлетворяющих условию, равно $4 + 9 - 1 = 12$. Тогда вероятность $P(D) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $P(D) = \frac{1}{3}$