Номер 799, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

799. В опыте из колоды (36 карт) случайным образом извлекают карту. Рассматриваются события $A$ — «извлечён король» и $B$ — «извлечена бубновая карта». Определите вероятности событий $A$, $B$, $A \cdot B$. Определите вероятность события $D$ — «извлечён король или бубновая карта».

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. В колоде 36 карт, поэтому общее число исходов $n=36$.

A

Событие A заключается в том, что извлечена карта «король». В стандартной колоде из 36 карт содержится 4 короля (по одному каждой масти). Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию A, равно $m_A = 4$.

Вероятность события A рассчитывается по формуле:

$P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Ответ: $P(A) = \frac{1}{9}$

B

Событие B заключается в том, что извлечена «бубновая карта». В колоде 4 масти, и на каждую масть приходится $36 / 4 = 9$ карт. Следовательно, число карт бубновой масти равно 9, и число исходов, благоприятствующих событию B, составляет $m_B = 9$.

Вероятность события B:

$P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Ответ: $P(B) = \frac{1}{4}$

A · B

Событие $A \cdot B$ (произведение событий) означает, что произошло и событие A, и событие B одновременно. То есть, извлечённая карта — это и король, и карта бубновой масти. Такой картой является только «король бубен». В колоде такая карта одна, поэтому число благоприятствующих исходов $m_{A \cdot B} = 1$.

Вероятность события $A \cdot B$:

$P(A \cdot B) = \frac{m_{A \cdot B}}{n} = \frac{1}{36}$

Ответ: $P(A \cdot B) = \frac{1}{36}$

D

Событие D — «извлечён король или бубновая карта». Это событие является суммой событий A и B ($D = A + B$). Поскольку события A и B являются совместными (могут наступить одновременно, если вытянуть короля бубен), вероятность их суммы находится по теореме сложения вероятностей для совместных событий:

$P(D) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$

Используя ранее вычисленные вероятности, получаем:

$P(D) = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - \frac{1}{36}$

Приводя дроби к общему знаменателю 36:

$P(D) = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - \frac{1}{36} = \frac{4+9-1}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Также можно было посчитать число благоприятных исходов напрямую: в колоде 4 короля и 9 бубновых карт. Так как бубновый король посчитан дважды, общее число уникальных карт, удовлетворяющих условию, равно $4 + 9 - 1 = 12$. Тогда вероятность $P(D) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $P(D) = \frac{1}{3}$