Номер 800, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

800. В опыте из тёмного мешка наудачу вынимают кость домино. Событие $A$ — «извлечена кость с суммой очков 7», $B$ — «извлечена кость с суммой очков 5». Определите вероятности событий $A$, $B$. Используя найденные вероятности, вычислите вероятность события $C$ — «извлечена кость с суммой очков или 7, или 5».

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Стандартный набор домино состоит из костей, на половинках которых нанесены очки от 0 до 6. Общее число уникальных костей в наборе, $N$, можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) по 2.

Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ по $k$: $C_{n+k-1}^{k}$. Для домино $n=7$ (вариантов очков), а $k=2$ (две половинки).

$N = C_{7+2-1}^{2} = C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Таким образом, общее число равновероятных исходов (количество костей в мешке) равно 28.

Определите вероятности событий A, B.

Событие A — «извлечена кость с суммой очков 7». Найдем количество исходов, благоприятствующих этому событию. Это все кости, сумма очков на которых равна 7. Перечислим их, учитывая, что кость (a, b) и (b, a) — это одна и та же кость:

• 1 + 6 = 7 (кость 1-6)
• 2 + 5 = 7 (кость 2-5)
• 3 + 4 = 7 (кость 3-4)

Всего 3 кости удовлетворяют условию. Число благоприятствующих событию A исходов $m_A = 3$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m_A}{N}$.

$P(A) = \frac{3}{28}$

Событие B — «извлечена кость с суммой очков 5». Аналогично найдем количество исходов, благоприятствующих событию B. Это кости с суммой очков, равной 5:

• 0 + 5 = 5 (кость 0-5)
• 1 + 4 = 5 (кость 1-4)
• 2 + 3 = 5 (кость 2-3)

Всего 3 кости удовлетворяют этому условию. Число благоприятствующих событию B исходов $m_B = 3$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m_B}{N}$.

$P(B) = \frac{3}{28}$

Ответ: Вероятность события A равна $\frac{3}{28}$, вероятность события B равна $\frac{3}{28}$.

Используя найденные вероятности, вычислите вероятность события C — «извлечена кость с суммой очков или 7, или 5».

Событие C происходит, если происходит либо событие A, либо событие B. Таким образом, событие C является объединением событий A и B: $C = A \cup B$.

События A (сумма очков 7) и B (сумма очков 5) являются несовместными, так как не существует кости домино, у которой сумма очков одновременно равна и 7, и 5. Извлечение кости с суммой 7 исключает возможность того, что у нее же сумма очков будет 5.

Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:

$P(C) = P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Подставим найденные ранее значения вероятностей P(A) и P(B):

$P(C) = \frac{3}{28} + \frac{3}{28} = \frac{3+3}{28} = \frac{6}{28}$

Полученную дробь можно сократить на 2:

$P(C) = \frac{3}{14}$

Ответ: $P(C) = \frac{3}{14}$.