Номер 807, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

807. Пусть даны два высказывания:

$A = \{\text{Валя сестра Жени}\}; \quad B = \{\text{Женя сестра Вали}\}.$

Постройте составные высказывания A и B и A или B. Определите, при каких условиях каждое из этих высказываний истинно, при каких — ложно.

Проанализируем исходные высказывания:

• Высказывание $A = \{\text{Валя сестра Жени}\}$ истинно, если Валя — женского пола и является сестрой/братом для Жени.
• Высказывание $B = \{\text{Женя сестра Вали}\}$ истинно, если Женя — женского пола и является сестрой/братом для Вали.

Ключевым моментом является то, что имена Валя (Валентин/Валентина) и Женя (Евгений/Евгения) могут принадлежать как мужчине, так и женщине.

А и В

Составное высказывание «А и В» читается как: «Валя сестра Жени и Женя сестра Вали». Это логическая конъюнкция ($A \land B$).

Условия истинности:
Конъюнкция истинна только в том случае, когда истинны оба исходных высказывания ($A$ и $B$). Для этого необходимо одновременное выполнение двух условий:

1. Валя должна быть девочкой (чтобы высказывание $A$ было истинным).
2. Женя должен быть девочкой (чтобы высказывание $B$ было истинным).

Таким образом, высказывание «А и В» истинно, если Валя и Женя — сестры.

Условия ложности:
Конъюнкция ложна, если хотя бы одно из исходных высказываний ложно. Это произойдет, если:

• Валя — мальчик (тогда $A$ ложно).
• Женя — мальчик (тогда $B$ ложно).
• Валя и Женя не являются родственниками (братом/сестрой), в этом случае оба высказывания $A$ и $B$ ложны.

Следовательно, высказывание «А и В» ложно, если хотя бы один из них мальчик, или если они не являются братом/сестрой.

Ответ: Высказывание «Валя сестра Жени и Женя сестра Вали» истинно, если Валя и Женя — обе сестры. Высказывание ложно, если хотя бы один из них является мальчиком или если они не являются братом и сестрой.

А или В

Составное высказывание «А или В» читается как: «Валя сестра Жени или Женя сестра Вали». Это логическая дизъюнкция ($A \lor B$).

Условия истинности:
Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из исходных высказываний ($A$ или $B$). Рассмотрим возможные случаи, когда Валя и Женя — брат и сестра:

1. Истинно $A$ и ложно $B$: Валя — девочка, а Женя — ее брат.
2. Ложно $A$ и истинно $B$: Валя — мальчик, а Женя — его сестра.
3. Истинны оба, $A$ и $B$: Валя и Женя — обе сестры.

Обобщая, высказывание «А или В» истинно, если Валя и Женя являются братом и сестрой (или сестрами) и хотя бы один из них — девочка.

Условия ложности:
Дизъюнкция ложна только в том случае, когда ложны оба исходных высказывания ($A$ и $B$). Это произойдет, если:

• Валя и Женя не являются родственниками (братом/сестрой).
• Валя и Женя являются братьями. В этом случае $A$ ложно (поскольку Валя — мальчик), и $B$ ложно (поскольку Женя — мальчик).

Таким образом, высказывание «А или В» ложно, если Валя и Женя — оба мальчики (братья), или если они не являются братом/сестрой.

Ответ: Высказывание «Валя сестра Жени или Женя сестра Вали» истинно, если Валя и Женя — брат и сестра (или обе сестры), и при этом хотя бы один из них — девочка. Высказывание ложно, если Валя и Женя — братья или если они не являются братом и сестрой.