Номер 813, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

813. Задача-шутка. В известной басне И. А. Крылова есть знаменитое изречение: «А Васька слушает, да ест». Для высказываний $A = \{\text{Васька слушает}\}$ и $B = \{\text{Васька ест}\}$ постройте составное высказывание:

а) $\underline{A \text{ и } B}$;

б) $\underline{A \text{ или } B}$;

в) $\overline{A} \text{ и } \overline{B}$;

г) $\underline{A} \text{ и } B$;

д) $A \text{ или } \underline{B}$;

е) $A \Rightarrow B$.

Определите, при каких условиях составное высказывание истинно.

а) $\overline{A \text{ и } B}$
Составное высказывание: «Неверно, что Васька слушает и ест».
Это логическое отрицание конъюнкции $A \land B$, которое обозначается как $\overline{A \land B}$. Согласно закону де Моргана, это эквивалентно дизъюнкции отрицаний: $\overline{A} \lor \overline{B}$ («Васька не слушает или Васька не ест»).
Высказывание истинно, если исходное высказывание «$A \text{ и } B$» ложно. Это происходит, когда хотя бы одно из простых высказываний (A или B) является ложным. То есть, Васька не делает хотя бы что-то одно: или не слушает, или не ест, или не делает ни того, ни другого.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька не слушает, или если Васька не ест (или и то, и другое).

б) $\overline{A \text{ или } B}$
Составное высказывание: «Неверно, что Васька слушает или ест».
Это логическое отрицание дизъюнкции $A \lor B$, которое обозначается как $\overline{A \lor B}$. Согласно закону де Моргана, это эквивалентно конъюнкции отрицаний: $\overline{A} \land \overline{B}$ («Васька не слушает и Васька не ест»).
Высказывание истинно, если исходное высказывание «$A \text{ или } B$» ложно. Это происходит только в одном случае: когда оба простых высказывания A и B ложны.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька одновременно не слушает и не ест.

в) $\overline{A} \text{ и } \overline{B}$
Составное высказывание: «Васька не слушает и не ест».
Это конъюнкция (логическое «И») двух отрицаний: $\overline{A}$ и $\overline{B}$. Высказывание, обозначаемое как $\overline{A} \land \overline{B}$, истинно только тогда, когда истинны обе его части. То есть, высказывание «Васька не слушает» должно быть истинным, и высказывание «Васька не ест» тоже должно быть истинным.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька не совершает ни одного из этих действий: он и не слушает, и не ест.

г) $A \text{ и } B$
Составное высказывание: «Васька слушает и ест».
Это конъюнкция (логическое «И»), обозначаемая как $A \land B$. Высказывание истинно только в том случае, когда оба простых высказывания (A и B) истинны. Это в точности соответствует смыслу фразы из басни.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька одновременно и слушает, и ест.

д) $A \text{ или } B$
Составное высказывание: «Васька слушает или ест».
Это дизъюнкция (логическое «ИЛИ»), обозначаемая как $A \lor B$. Высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний (A или B), включая случай, когда они оба истинны.
Ответ: Высказывание истинно, если Васька совершает хотя бы одно из действий: слушает, ест, или делает и то, и другое.

е) $A \Rightarrow B$
Составное высказывание: «Если Васька слушает, то он ест».
Это импликация (логическое следование), обозначаемая как $A \Rightarrow B$. Импликация считается ложной только в одном случае: когда посылка (A) истинна, а следствие (B) ложно. Во всех остальных случаях она истинна.
Таким образом, высказывание будет истинным, если:
1. Васька слушает и ест (A-истина, B-истина).
2. Васька не слушает, но ест (A-ложь, B-истина).
3. Васька не слушает и не ест (A-ложь, B-ложь).
Ответ: Высказывание истинно во всех случаях, кроме одного: когда Васька слушает, но не ест.