Номер 814, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

814. Пусть даны два высказывания:

$A = \{\text{В огороде бузина}\}$;

$B = \{\text{В Киеве дядька}\}$.

Постройте условное высказывание Если $A$, то $B$. Определите, в каких случаях это высказывание считают истинным, в каких — ложным.

Постройте условное высказывание Если A, то B

Даны два исходных высказывания: $A$ = {В огороде бузина}; $B$ = {В Киеве дядька}.

Условное высказывание, также известное как импликация, строится по схеме «Если $A$, то $B$». Для этого необходимо подставить тексты высказываний $A$ и $B$ в эту конструкцию.

В результате получаем следующее составное высказывание: «Если в огороде бузина, то в Киеве дядька».

Ответ: «Если в огороде бузина, то в Киеве дядька».

Определите, в каких случаях это высказывание считают истинным, в каких — ложным

Истинность условного высказывания (импликации) $A \rightarrow B$ в математической логике не зависит от смысловой связи между посылкой $A$ и заключением $B$. Она определяется исключительно их значениями истинности (истинно или ложно).

Правило для импликации следующее:

Условное высказывание $A \rightarrow B$ является ложным только в одном случае: когда посылка $A$ истинна, а заключение $B$ ложно. Во всех остальных случаях оно считается истинным.

Рассмотрим все четыре возможные комбинации для наших высказываний:

1. $A$ — истинно (в огороде действительно есть бузина) и $B$ — истинно (в Киеве действительно есть дядька).
   В этом случае условное высказывание истинно.
2. $A$ — истинно (в огороде есть бузина) и $B$ — ложно (в Киеве нет дядьки).
   В этом случае условное высказывание ложно. Это единственный случай, нарушающий импликацию, так как из истинного утверждения получилось ложное.
3. $A$ — ложно (в огороде нет бузины) и $B$ — истинно (в Киеве есть дядька).
   В этом случае условное высказывание истинно. В логике принято, что из ложной посылки может следовать что угодно (принцип ex falso quodlibet). Утверждение «Если $A$, то $B$» ничего не говорит о ситуации, когда $A$ ложно, поэтому оно не нарушается.
4. $A$ — ложно (в огороде нет бузины) и $B$ — ложно (в Киеве нет дядьки).
   В этом случае условное высказывание также истинно по той же причине, что и в предыдущем пункте. Посылка ложна, следовательно, все утверждение не может быть опровергнуто.

Для наглядности это можно представить в виде таблицы истинности, где И — истина, Л — ложь:

Ответ: Высказывание «Если в огороде бузина, то в Киеве дядька» является ложным только в том случае, если утверждение «В огороде бузина» истинно, а утверждение «В Киеве дядька» ложно. Во всех остальных случаях данное высказывание считается истинным.