Номер 821, страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

821. a) $(\frac{1}{49^2} - \frac{1}{50^2}) : (\frac{1}{49} - \frac{1}{50}) \cdot \frac{7}{9}$;

б) $(\frac{1}{2009^2} - \frac{1}{2010^2}) : (\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010}) \cdot 2009^2$;

в) $(\frac{1}{2010^2} - \frac{1}{2011^2}) : (\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}) \cdot \frac{2011}{4021}$.

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение в первой скобке $(\frac{1}{49^2} - \frac{1}{50^2})$ можно представить в виде разности квадратов $(\frac{1}{49})^2 - (\frac{1}{50})^2$.
Применив формулу, получим: $(\frac{1}{49})^2 - (\frac{1}{50})^2 = (\frac{1}{49} - \frac{1}{50})(\frac{1}{49} + \frac{1}{50})$.
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$((\frac{1}{49} - \frac{1}{50})(\frac{1}{49} + \frac{1}{50})) : (\frac{1}{49} - \frac{1}{50}) \cdot \frac{7}{9}$
При делении скобка $(\frac{1}{49} - \frac{1}{50})$ сокращается, и выражение упрощается:
$(\frac{1}{49} + \frac{1}{50}) \cdot \frac{7}{9}$
Выполним сложение дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю:
$\frac{1}{49} + \frac{1}{50} = \frac{50}{49 \cdot 50} + \frac{49}{49 \cdot 50} = \frac{50+49}{49 \cdot 50} = \frac{99}{49 \cdot 50}$
Теперь выполним умножение, сокращая множители:
$\frac{99}{49 \cdot 50} \cdot \frac{7}{9} = \frac{11 \cdot 9}{7 \cdot 7 \cdot 50} \cdot \frac{7}{9} = \frac{11}{7 \cdot 50} = \frac{11}{350}$
Ответ: $\frac{11}{350}$

б) Этот пример решается по той же схеме. Используем формулу разности квадратов для выражения в первой скобке:
$\frac{1}{2009^2} - \frac{1}{2010^2} = (\frac{1}{2009})^2 - (\frac{1}{2010})^2 = (\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010})(\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010})$
Подставим полученное разложение в исходное выражение:
$((\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010})(\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010})) : (\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010}) \cdot 2009^2$
Скобка $(\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010})$ сокращается, и выражение упрощается до:
$(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010}) \cdot 2009^2$
Выполним вычитание дробей в скобках:
$\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010} = \frac{2010}{2009 \cdot 2010} - \frac{2009}{2009 \cdot 2010} = \frac{2010-2009}{2009 \cdot 2010} = \frac{1}{2009 \cdot 2010}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{1}{2009 \cdot 2010} \cdot 2009^2 = \frac{2009^2}{2009 \cdot 2010} = \frac{2009}{2010}$
Ответ: $\frac{2009}{2010}$

в) Снова применяем формулу разности квадратов:
$\frac{1}{2010^2} - \frac{1}{2011^2} = (\frac{1}{2010})^2 - (\frac{1}{2011})^2 = (\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011})(\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011})$
Подставляем в исходное выражение:
$((\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011})(\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011})) : (\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}) \cdot \frac{2011}{4021}$
Скобка $(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011})$ сокращается, получаем:
$(\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011}) \cdot \frac{2011}{4021}$
Выполним сложение в скобках:
$\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011} = \frac{2011}{2010 \cdot 2011} + \frac{2010}{2010 \cdot 2011} = \frac{2011+2010}{2010 \cdot 2011} = \frac{4021}{2010 \cdot 2011}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{4021}{2010 \cdot 2011} \cdot \frac{2011}{4021}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе ($2011$ и $4021$):
$\frac{4021 \cdot 2011}{2010 \cdot 2011 \cdot 4021} = \frac{1}{2010}$
Ответ: $\frac{1}{2010}$