Страница 257 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

816. Отметьте на координатной оси числа:

a) $0; 0,1; 0,2; 0,35; 0,7; 0,95; 1,05;$

б) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{3}{4}; \frac{2}{4}; \frac{1}{8}; \frac{5}{8}; \frac{7}{8}; \frac{4}{8}; 1\frac{1}{16}.$

а) Чтобы отметить заданные десятичные дроби на координатной оси, выберем удобный единичный отрезок. Так как в числах есть сотые доли (например, 0,35), удобно взять единичный отрезок, который легко делится на 100. Возьмем за единичный отрезок (расстояние от 0 до 1) длину в 20 тетрадных клеток. В этом случае одна клетка будет представлять $1/20 = 0,05$.

Начертим координатную ось и отметим на ней начало отсчета – точку 0. Далее отметим остальные точки, отсчитывая от нуля:

0: Начало координат.

0,1: Это значение равно $0,1 / 0,05 = 2$. Значит, точка находится на расстоянии 2 клеток от 0.

0,2: Это значение равно $0,2 / 0,05 = 4$. Точка находится на расстоянии 4 клеток от 0.

0,35: Это значение равно $0,35 / 0,05 = 7$. Точка находится на расстоянии 7 клеток от 0.

0,7: Это значение равно $0,7 / 0,05 = 14$. Точка находится на расстоянии 14 клеток от 0.

0,95: Это значение равно $0,95 / 0,05 = 19$. Точка находится на расстоянии 19 клеток от 0, то есть на одну клетку левее точки 1.

1,05: Это значение равно $1,05 / 0,05 = 21$. Точка находится на расстоянии 21 клетки от 0, то есть на одну клетку правее точки 1.

Ответ: Для построения нужно начертить координатную ось, выбрать единичный отрезок, например, в 20 клеток, и отметить на ней точки. Точка 0 – начало отсчета. Точка 0,1 находится на расстоянии 2 клеток от 0; 0,2 – на 4 клетках; 0,35 – на 7 клетках; 0,7 – на 14 клетках; 0,95 – на 19 клетках; 1,05 – на 21 клетке.

б) Чтобы отметить обыкновенные дроби на координатной оси, удобнее всего привести их к общему знаменателю. В данном случае знаменатели 2, 4, 8, 16. Наименьший общий знаменатель для них – 16.

Выполним преобразование дробей:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} $

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{4}{16} $

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16} $

$ \frac{2}{4} = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{8}{16} $ (совпадает с $ \frac{1}{2} $)

$ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{2}{16} $

$ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16} $

$ \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{14}{16} $

$ \frac{4}{8} = \frac{4 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{8}{16} $ (совпадает с $ \frac{1}{2} $)

$ 1\frac{1}{16} = \frac{16}{16} + \frac{1}{16} = \frac{17}{16} $

Таким образом, необходимо отметить на оси уникальные точки, соответствующие дробям $ \frac{2}{16}, \frac{4}{16}, \frac{8}{16}, \frac{10}{16}, \frac{12}{16}, \frac{14}{16}, \frac{17}{16} $. Для удобства построения выберем единичный отрезок (от 0 до 1) длиной в 16 тетрадных клеток. Тогда каждая клетка будет соответствовать $ \frac{1}{16} $ единичного отрезка.

Расположим точки на оси:

$ \frac{1}{8} $ (равна $ \frac{2}{16} $): отступаем от 0 на 2 клетки.

$ \frac{1}{4} $ (равна $ \frac{4}{16} $): отступаем от 0 на 4 клетки.

$ \frac{1}{2} $ (также $ \frac{2}{4} $ и $ \frac{4}{8} $, равны $ \frac{8}{16} $): отступаем от 0 на 8 клеток (середина единичного отрезка).

$ \frac{5}{8} $ (равна $ \frac{10}{16} $): отступаем от 0 на 10 клеток.

$ \frac{3}{4} $ (равна $ \frac{12}{16} $): отступаем от 0 на 12 клеток.

$ \frac{7}{8} $ (равна $ \frac{14}{16} $): отступаем от 0 на 14 клеток.

$ 1\frac{1}{16} $ (равна $ \frac{17}{16} $): отступаем от 0 на 17 клеток (на 1 клетку правее точки 1).

Ответ: Необходимо начертить координатную ось, выбрать единичный отрезок равный 16 клеткам. Точки будут расположены следующим образом: $ \frac{1}{8} $ на расстоянии 2 клеток от 0, $ \frac{1}{4} $ – 4 клетки, $ \frac{1}{2} $ (а также $ \frac{2}{4} $ и $ \frac{4}{8} $) – 8 клеток, $ \frac{5}{8} $ – 10 клеток, $ \frac{3}{4} $ – 12 клеток, $ \frac{7}{8} $ – 14 клеток, $ 1\frac{1}{16} $ – 17 клеток.

817. Сравните числа:

а) 6 и 4;

б) 7,1 и 7,(09);

в) $\frac{1}{4}$ и 0,25;

г) $\frac{2}{3}$ и 0,6;

д) -2 и -2,2;

е) -3,(5) и -3,5.

а) 6 и 4

Для сравнения двух целых положительных чисел 6 и 4 достаточно посмотреть на их положение на числовой оси. Число 6 находится правее числа 4, следовательно, 6 больше 4.

Ответ: $6 > 4$.

б) 7,1 и 7,(09)

Для сравнения десятичных дробей 7,1 и 7,(09) необходимо сравнить их разряды, начиная слева направо. Число 7,(09) является периодической дробью и равно 7,090909...
Сравним числа 7,1 и 7,090909...
Целые части обоих чисел равны 7.
Сравним цифры в разряде десятых: у числа 7,1 это 1, а у числа 7,090909... это 0.
Поскольку $1 > 0$, то и число 7,1 больше числа 7,(09).

Ответ: $7,1 > 7,(09)$.

в) $\frac{1}{4}$ и 0,25

Чтобы сравнить обыкновенную дробь и десятичную, приведем их к одному виду. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель: $1 \div 4 = 0,25$.
Теперь мы сравниваем 0,25 и 0,25. Эти числа равны.

Ответ: $\frac{1}{4} = 0,25$.

г) $\frac{2}{3}$ и 0,6

Приведем числа к одному виду для сравнения. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{2}{3}$ в десятичную, разделив 2 на 3: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
Теперь сравним десятичные дроби $0,(6)$ и $0,6$.
$0,(6) = 0,666...$
$0,6 = 0,600...$
Целые части и десятые доли у чисел совпадают. Сравним сотые доли: у первого числа это 6, у второго — 0. Так как $6 > 0$, то $0,(6) > 0,6$.

Ответ: $\frac{2}{3} > 0,6$.

д) -2 и -2,2

При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше.
Найдем модули чисел: $|-2| = 2$ и $|-2,2| = 2,2$.
Сравним модули: $2 < 2,2$.
Поскольку модуль числа -2 меньше модуля числа -2,2, то число -2 больше числа -2,2.

Ответ: $-2 > -2,2$.

е) -3,(5) и -3,5

Сравниваем два отрицательных числа. Запишем периодическую дробь в развернутом виде: $-3,(5) = -3,555...$
Сравним модули чисел $|-3,555...| = 3,555...$ и $|-3,5| = 3,5$.
Сравнивая $3,555...$ и $3,500...$, видим, что $3,555... > 3,5$, так как в разряде сотых у первого числа стоит 5, а у второго — 0.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-3,(5)| > |-3,5|$, то $-3,(5) < -3,5$.

Ответ: $-3,(5) < -3,5$.

Вычислите (818–821):

818. а) $2^5$; б) $2^6$; в) $(-2)^4$; г) $(-2)^5$;

д) $(\frac{1}{2})^3$; е) $(-\frac{1}{3})^4$; ж) $(-\frac{1}{2})^4$; з) $(-2\frac{1}{2})^3$.

а) Чтобы вычислить $2^5$, нужно возвести число 2 в пятую степень, то есть умножить его само на себя 5 раз.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Ответ: $32$

б) Чтобы вычислить $2^6$, нужно возвести число 2 в шестую степень, то есть умножить его само на себя 6 раз.

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

Ответ: $64$

в) Чтобы вычислить $(-2)^4$, нужно возвести число -2 в четвертую степень. Так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным.

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$

Ответ: $16$

г) Чтобы вычислить $(-2)^5$, нужно возвести число -2 в пятую степень. Так как показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$

Ответ: $-32$

д) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

е) При возведении отрицательной дроби $(-\frac{1}{3})$ в четную степень (4) результат будет положительным.

$(-\frac{1}{3})^4 = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$

Ответ: $\frac{1}{81}$

ж) При возведении отрицательной дроби $(-\frac{1}{2})$ в четную степень (4) результат будет положительным.

$(-\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$

з) Сначала преобразуем смешанное число $-2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь.

$-2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$

Теперь возведем полученную дробь в куб. Так как показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным.

$(-\frac{5}{2})^3 = -\frac{5^3}{2^3} = -\frac{125}{8}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $-\frac{125}{8} = -15\frac{5}{8}$.

Ответ: $-15\frac{5}{8}$

819. a) $2^3 : 4^2 - (-2)^3;$

б) $(-3)^2 + 3^3 : 9^2;$

в) $(12,5)^2 - \frac{1}{4};$

г) $(1\frac{1}{2})^2 - (1\frac{1}{3})^2.$

а) $2^3 : 4^2 - (-2)^3$

Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала возведение в степень, затем деление, и в конце вычитание.

1. Вычисляем значения степеней: $2^3 = 8$; $4^2 = 16$; $(-2)^3 = -8$.

2. Подставляем полученные значения в выражение: $8 : 16 - (-8)$.

3. Выполняем деление: $8 : 16 = 0,5$.

4. Выполняем вычитание: $0,5 - (-8) = 0,5 + 8 = 8,5$.

Ответ: $8,5$

б) $(-3)^2 + 3^3 : 9^2$

Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала возведение в степень, затем деление, и в конце сложение.

1. Вычисляем значения степеней: $(-3)^2 = 9$; $3^3 = 27$; $9^2 = 81$.

2. Подставляем полученные значения в выражение: $9 + 27 : 81$.

3. Выполняем деление: $27 : 81 = \frac{27}{81}$. Сокращаем дробь на 27, получаем $\frac{1}{3}$.

4. Выполняем сложение: $9 + \frac{1}{3} = 9\frac{1}{3}$.

Ответ: $9\frac{1}{3}$

в) $(12,5)^2 - \frac{1}{4}$

1. Возводим в квадрат десятичную дробь: $12,5^2 = 12,5 \cdot 12,5 = 156,25$.

2. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$ в десятичную: $1 : 4 = 0,25$.

3. Выполняем вычитание: $156,25 - 0,25 = 156$.

Ответ: $156$

г) $(1\frac{1}{2})^2 - (1\frac{1}{3})^2$

Для решения можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ или выполнить действия по порядку.

Способ 1: По действиям

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

2. Возводим каждую дробь в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$; $(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

3. Выполняем вычитание дробей. Для этого приводим их к общему знаменателю 36:

$\frac{9}{4} - \frac{16}{9} = \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{16 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{81}{36} - \frac{64}{36} = \frac{81 - 64}{36} = \frac{17}{36}$.

Способ 2: Разность квадратов

1. $(1\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3})(1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3})$

2. Вычисляем первую скобку: $1\frac{1}{2} - 1\frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{9}{6} - \frac{8}{6} = \frac{1}{6}$.

3. Вычисляем вторую скобку: $1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{9}{6} + \frac{8}{6} = \frac{17}{6}$.

4. Перемножаем результаты: $\frac{1}{6} \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{36}$.

Ответ: $\frac{17}{36}$

820. a) $\frac{\left(7\frac{1}{3}\right)^2 - \left(2\frac{2}{3}\right)^2}{\left(5\frac{7}{9}\right)^2 - \left(4\frac{2}{9}\right)^2}$;

б) $\frac{\left(7\frac{3}{7}\right)^2 - \left(\frac{6}{7}\right)^2}{\left(17\frac{11}{14}\right)^2 - \left(11\frac{3}{14}\right)^2}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, так как она позволяет значительно упростить вычисления.
Исходное выражение: $ \frac{\left(7\frac{1}{3}\right)^2 - \left(2\frac{2}{3}\right)^2}{\left(5\frac{7}{9}\right)^2 - \left(4\frac{2}{9}\right)^2} $.

1. Преобразуем числитель дроби, применив формулу разности квадратов:
$ \left(7\frac{1}{3}\right)^2 - \left(2\frac{2}{3}\right)^2 = \left(7\frac{1}{3} - 2\frac{2}{3}\right)\left(7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3}\right) $.
Вычислим значения выражений в скобках:
$ 7\frac{1}{3} - 2\frac{2}{3} = \frac{22}{3} - \frac{8}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $.
$ 7\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} = (7+2) + \left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right) = 9 + 1 = 10 $.
Таким образом, значение числителя равно: $ 4\frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{14}{3} \cdot 10 = \frac{140}{3} $.

2. Преобразуем знаменатель дроби, также используя формулу разности квадратов:
$ \left(5\frac{7}{9}\right)^2 - \left(4\frac{2}{9}\right)^2 = \left(5\frac{7}{9} - 4\frac{2}{9}\right)\left(5\frac{7}{9} + 4\frac{2}{9}\right) $.
Вычислим значения выражений в скобках:
$ 5\frac{7}{9} - 4\frac{2}{9} = (5-4) + \left(\frac{7}{9}-\frac{2}{9}\right) = 1 + \frac{5}{9} = 1\frac{5}{9} $.
$ 5\frac{7}{9} + 4\frac{2}{9} = (5+4) + \left(\frac{7}{9}+\frac{2}{9}\right) = 9 + 1 = 10 $.
Таким образом, значение знаменателя равно: $ 1\frac{5}{9} \cdot 10 = \frac{14}{9} \cdot 10 = \frac{140}{9} $.

3. Найдем значение всего выражения, подставив вычисленные значения числителя и знаменателя:
$ \frac{\frac{140}{3}}{\frac{140}{9}} = \frac{140}{3} \div \frac{140}{9} = \frac{140}{3} \cdot \frac{9}{140} = \frac{9}{3} = 3 $.

Ответ: 3.

б) Аналогично предыдущему примеру, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Исходное выражение: $ \frac{\left(7\frac{3}{7}\right)^2 - \left(\frac{6}{7}\right)^2}{\left(17\frac{11}{14}\right)^2 - \left(11\frac{3}{14}\right)^2} $.

1. Преобразуем числитель дроби:
$ \left(7\frac{3}{7}\right)^2 - \left(\frac{6}{7}\right)^2 = \left(7\frac{3}{7} - \frac{6}{7}\right)\left(7\frac{3}{7} + \frac{6}{7}\right) $.
Вычислим значения в скобках:
$ 7\frac{3}{7} - \frac{6}{7} = 6\frac{10}{7} - \frac{6}{7} = 6\frac{4}{7} $.
$ 7\frac{3}{7} + \frac{6}{7} = 7 + \frac{3+6}{7} = 7 + \frac{9}{7} = 7 + 1\frac{2}{7} = 8\frac{2}{7} $.
Таким образом, числитель равен произведению $ \left(6\frac{4}{7}\right) \cdot \left(8\frac{2}{7}\right) $.

2. Преобразуем знаменатель дроби:
$ \left(17\frac{11}{14}\right)^2 - \left(11\frac{3}{14}\right)^2 = \left(17\frac{11}{14} - 11\frac{3}{14}\right)\left(17\frac{11}{14} + 11\frac{3}{14}\right) $.
Вычислим значения в скобках:
$ 17\frac{11}{14} - 11\frac{3}{14} = (17-11) + \left(\frac{11}{14}-\frac{3}{14}\right) = 6 + \frac{8}{14} = 6\frac{4}{7} $.
$ 17\frac{11}{14} + 11\frac{3}{14} = (17+11) + \left(\frac{11}{14}+\frac{3}{14}\right) = 28 + \frac{14}{14} = 28 + 1 = 29 $.
Таким образом, знаменатель равен произведению $ \left(6\frac{4}{7}\right) \cdot 29 $.

3. Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:
$ \frac{\left(6\frac{4}{7}\right) \cdot \left(8\frac{2}{7}\right)}{\left(6\frac{4}{7}\right) \cdot 29} $.
Сократим общий множитель $ 6\frac{4}{7} $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{8\frac{2}{7}}{29} = \frac{\frac{58}{7}}{29} = \frac{58}{7 \cdot 29} $.
Так как $ 58 = 2 \cdot 29 $, можем сократить дробь на 29:
$ \frac{2 \cdot 29}{7 \cdot 29} = \frac{2}{7} $.

Ответ: $ \frac{2}{7} $.

821. a) $(\frac{1}{49^2} - \frac{1}{50^2}) : (\frac{1}{49} - \frac{1}{50}) \cdot \frac{7}{9}$;

б) $(\frac{1}{2009^2} - \frac{1}{2010^2}) : (\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010}) \cdot 2009^2$;

в) $(\frac{1}{2010^2} - \frac{1}{2011^2}) : (\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}) \cdot \frac{2011}{4021}$.

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение в первой скобке $(\frac{1}{49^2} - \frac{1}{50^2})$ можно представить в виде разности квадратов $(\frac{1}{49})^2 - (\frac{1}{50})^2$.
Применив формулу, получим: $(\frac{1}{49})^2 - (\frac{1}{50})^2 = (\frac{1}{49} - \frac{1}{50})(\frac{1}{49} + \frac{1}{50})$.
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$((\frac{1}{49} - \frac{1}{50})(\frac{1}{49} + \frac{1}{50})) : (\frac{1}{49} - \frac{1}{50}) \cdot \frac{7}{9}$
При делении скобка $(\frac{1}{49} - \frac{1}{50})$ сокращается, и выражение упрощается:
$(\frac{1}{49} + \frac{1}{50}) \cdot \frac{7}{9}$
Выполним сложение дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю:
$\frac{1}{49} + \frac{1}{50} = \frac{50}{49 \cdot 50} + \frac{49}{49 \cdot 50} = \frac{50+49}{49 \cdot 50} = \frac{99}{49 \cdot 50}$
Теперь выполним умножение, сокращая множители:
$\frac{99}{49 \cdot 50} \cdot \frac{7}{9} = \frac{11 \cdot 9}{7 \cdot 7 \cdot 50} \cdot \frac{7}{9} = \frac{11}{7 \cdot 50} = \frac{11}{350}$
Ответ: $\frac{11}{350}$

б) Этот пример решается по той же схеме. Используем формулу разности квадратов для выражения в первой скобке:
$\frac{1}{2009^2} - \frac{1}{2010^2} = (\frac{1}{2009})^2 - (\frac{1}{2010})^2 = (\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010})(\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010})$
Подставим полученное разложение в исходное выражение:
$((\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010})(\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010})) : (\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010}) \cdot 2009^2$
Скобка $(\frac{1}{2009} + \frac{1}{2010})$ сокращается, и выражение упрощается до:
$(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010}) \cdot 2009^2$
Выполним вычитание дробей в скобках:
$\frac{1}{2009} - \frac{1}{2010} = \frac{2010}{2009 \cdot 2010} - \frac{2009}{2009 \cdot 2010} = \frac{2010-2009}{2009 \cdot 2010} = \frac{1}{2009 \cdot 2010}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{1}{2009 \cdot 2010} \cdot 2009^2 = \frac{2009^2}{2009 \cdot 2010} = \frac{2009}{2010}$
Ответ: $\frac{2009}{2010}$

в) Снова применяем формулу разности квадратов:
$\frac{1}{2010^2} - \frac{1}{2011^2} = (\frac{1}{2010})^2 - (\frac{1}{2011})^2 = (\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011})(\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011})$
Подставляем в исходное выражение:
$((\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011})(\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011})) : (\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011}) \cdot \frac{2011}{4021}$
Скобка $(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2011})$ сокращается, получаем:
$(\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011}) \cdot \frac{2011}{4021}$
Выполним сложение в скобках:
$\frac{1}{2010} + \frac{1}{2011} = \frac{2011}{2010 \cdot 2011} + \frac{2010}{2010 \cdot 2011} = \frac{2011+2010}{2010 \cdot 2011} = \frac{4021}{2010 \cdot 2011}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{4021}{2010 \cdot 2011} \cdot \frac{2011}{4021}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе ($2011$ и $4021$):
$\frac{4021 \cdot 2011}{2010 \cdot 2011 \cdot 4021} = \frac{1}{2010}$
Ответ: $\frac{1}{2010}$

822. Верно ли равенство:

а) $\left(2\frac{3}{7}-\frac{5}{7}\right)\cdot \frac{7}{24} = \left(\frac{3}{8}+1\frac{13}{16}\right): 4\frac{3}{8};$

б) $\left(5\frac{2}{11}-\frac{9}{11}\right)\cdot \frac{5}{24} = \left(\frac{3}{22}+\frac{57}{33}\right): 2\frac{1}{20};$

в) $123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017 = 1,23456 \cdot 98765,4 \cdot 0,20017;$

г) $135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009 = 13,579 \cdot 200,9 \cdot 0,2468?$

а)

Проверим верность равенства: $(2\frac{3}{7} - \frac{5}{7}) \cdot \frac{7}{24} = (\frac{3}{8} + 1\frac{13}{16}) : 4\frac{3}{8}$.

1. Вычислим значение выражения в левой части равенства:

Первое действие — вычитание в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}$.

$\frac{17}{7} - \frac{5}{7} = \frac{17-5}{7} = \frac{12}{7}$.

Второе действие — умножение:

$\frac{12}{7} \cdot \frac{7}{24} = \frac{12 \cdot 7}{7 \cdot 24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Итак, левая часть равна $\frac{1}{2}$.

2. Вычислим значение выражения в правой части равенства:

Первое действие — сложение в скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь $1\frac{13}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 13}{16} = \frac{29}{16}$ и приведем дроби к общему знаменателю 16.

$\frac{3}{8} + \frac{29}{16} = \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{29}{16} = \frac{6}{16} + \frac{29}{16} = \frac{35}{16}$.

Второе действие — деление. Преобразуем делитель в неправильную дробь: $4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}$.

$\frac{35}{16} : \frac{35}{8} = \frac{35}{16} \cdot \frac{8}{35} = \frac{35 \cdot 8}{16 \cdot 35} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Итак, правая часть равна $\frac{1}{2}$.

3. Сравним результаты:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б)

Проверим верность равенства: $(5\frac{2}{11} - \frac{9}{11}) \cdot \frac{5}{24} = (\frac{3}{22} + \frac{57}{33}) : 2\frac{1}{20}$.

1. Вычислим левую часть:

Выполним вычитание: $5\frac{2}{11} - \frac{9}{11} = 4 + 1\frac{2}{11} - \frac{9}{11} = 4 + \frac{13}{11} - \frac{9}{11} = 4\frac{4}{11}$.

Выполним умножение, предварительно переведя $4\frac{4}{11}$ в неправильную дробь: $4\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{48}{11}$.

$\frac{48}{11} \cdot \frac{5}{24} = \frac{48 \cdot 5}{11 \cdot 24} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11}$.

Левая часть равна $\frac{10}{11}$.

2. Вычислим правую часть:

Выполним сложение. Сначала сократим дробь $\frac{57}{33} = \frac{19 \cdot 3}{11 \cdot 3} = \frac{19}{11}$. Затем приведем дроби к общему знаменателю 22.

$\frac{3}{22} + \frac{19}{11} = \frac{3}{22} + \frac{19 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{3}{22} + \frac{38}{22} = \frac{41}{22}$.

Выполним деление. Преобразуем $2\frac{1}{20}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{20} = \frac{2 \cdot 20 + 1}{20} = \frac{41}{20}$.

$\frac{41}{22} : \frac{41}{20} = \frac{41}{22} \cdot \frac{20}{41} = \frac{20}{22} = \frac{10}{11}$.

Правая часть равна $\frac{10}{11}$.

3. Сравним результаты:

$\frac{10}{11} = \frac{10}{11}$.

Равенство верно.

Ответ: равенство верно.

в)

Проверим верность равенства: $123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017 = 1,23456 \cdot 98765,4 \cdot 0,20017$.

Для проверки этого равенства нет необходимости выполнять полное умножение. Вместо этого проанализируем, как изменились множители в правой части по сравнению с левой. Обозначим левую часть как ЛЧ, а правую как ПЧ.

ЛЧ = $123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017$.

Выразим множители правой части через множители левой:

$1,23456 = 123,456 : 100 = 123,456 \cdot 10^{-2}$

$98765,4 = 98,7654 \cdot 1000 = 98,7654 \cdot 10^{3}$

$0,20017 = 2,0017 : 10 = 2,0017 \cdot 10^{-1}$

Подставим эти выражения в правую часть:

ПЧ = $(123,456 \cdot 10^{-2}) \cdot (98,7654 \cdot 10^{3}) \cdot (2,0017 \cdot 10^{-1})$

Сгруппируем множители:

ПЧ = $(123,456 \cdot 98,7654 \cdot 2,0017) \cdot (10^{-2} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1})$

Выражение в первой скобке равно ЛЧ. Вычислим произведение степеней десяти во второй скобке:

$10^{-2} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1} = 10^{-2+3-1} = 10^0 = 1$.

Следовательно, ПЧ = ЛЧ $\cdot 1 = $ ЛЧ. Равенство верно.

Ответ: равенство верно.

г)

Проверим верность равенства: $135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009 = 13,579 \cdot 200,9 \cdot 0,2468$.

Проанализируем множители аналогично предыдущему пункту. Обозначим левую часть как ЛЧ, а правую как ПЧ.

ЛЧ = $135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009$.

Выразим множители правой части через множители левой. Заметим, что множители в правой части переставлены.

$13,579 = 135,79 : 10 = 135,79 \cdot 10^{-1}$

$200,9 = 0,2009 \cdot 1000 = 0,2009 \cdot 10^{3}$

$0,2468 = 2,468 : 10 = 2,468 \cdot 10^{-1}$

Подставим эти выражения в правую часть:

ПЧ = $(135,79 \cdot 10^{-1}) \cdot (0,2009 \cdot 10^{3}) \cdot (2,468 \cdot 10^{-1})$

Сгруппируем множители:

ПЧ = $(135,79 \cdot 2,468 \cdot 0,2009) \cdot (10^{-1} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1})$

Выражение в первой скобке равно ЛЧ. Вычислим произведение степеней десяти во второй скобке:

$10^{-1} \cdot 10^{3} \cdot 10^{-1} = 10^{-1+3-1} = 10^1 = 10$.

Следовательно, ПЧ = ЛЧ $\cdot 10$.

Поскольку левая часть не равна нулю, правая часть в 10 раз больше левой, поэтому равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.