Страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

887. a) $\frac{\sqrt[7]{3^5}}{\sqrt[7]{3^8}}$;

б) $\frac{\sqrt[4]{4^3}}{\sqrt[4]{4^5}}$;

B) $\frac{\sqrt[3]{4^5}}{\sqrt[3]{4^{-1}}}$;

г) $\frac{\sqrt[5]{9^2}}{\sqrt[5]{9^{-1}}}$.

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $.

Применяя это свойство, получаем: $ \frac{\sqrt[7]{3^5}}{\sqrt[7]{3^8}} = \sqrt[7]{\frac{3^5}{3^8}} $

Далее, используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \sqrt[7]{\frac{3^5}{3^8}} = \sqrt[7]{3^{5-8}} = \sqrt[7]{3^{-3}} $

Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, перепишем выражение: $ \sqrt[7]{3^{-3}} = \sqrt[7]{\frac{1}{3^3}} = \frac{1}{\sqrt[7]{3^3}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{3^4} $: $ \frac{1}{\sqrt[7]{3^3}} \cdot \frac{\sqrt[7]{3^4}}{\sqrt[7]{3^4}} = \frac{\sqrt[7]{3^4}}{\sqrt[7]{3^3 \cdot 3^4}} = \frac{\sqrt[7]{3^4}}{\sqrt[7]{3^7}} = \frac{\sqrt[7]{81}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[7]{81}}{3} $

б) Применим свойство частного корней одинаковой степени $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $: $ \frac{\sqrt[4]{4^3}}{\sqrt[4]{4^5}} = \sqrt[4]{\frac{4^3}{4^5}} $

Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \sqrt[4]{\frac{4^3}{4^5}} = \sqrt[4]{4^{3-5}} = \sqrt[4]{4^{-2}} $

Представим корень в виде степени с рациональным показателем $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $: $ \sqrt[4]{4^{-2}} = 4^{-\frac{2}{4}} = 4^{-\frac{1}{2}} $

Вычислим значение выражения: $ 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Используем свойство частного корней $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $: $ \frac{\sqrt[3]{4^5}}{\sqrt[3]{4^{-1}}} = \sqrt[3]{\frac{4^5}{4^{-1}}} $

Упростим подкоренное выражение, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \sqrt[3]{\frac{4^5}{4^{-1}}} = \sqrt[3]{4^{5 - (-1)}} = \sqrt[3]{4^{5+1}} = \sqrt[3]{4^6} $

Для извлечения корня представим его в виде степени с дробным показателем: $ \sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^2 = 16 $

Ответ: $ 16 $

г) Снова применяем свойство частного корней: $ \frac{\sqrt[5]{9^2}}{\sqrt[5]{9^{-1}}} = \sqrt[5]{\frac{9^2}{9^{-1}}} $

Упрощаем выражение под корнем: $ \sqrt[5]{\frac{9^2}{9^{-1}}} = \sqrt[5]{9^{2 - (-1)}} = \sqrt[5]{9^{2+1}} = \sqrt[5]{9^3} $

Для дальнейшего упрощения представим основание $ 9 $ как степень числа $ 3 $, то есть $ 9=3^2 $: $ \sqrt[5]{9^3} = \sqrt[5]{(3^2)^3} = \sqrt[5]{3^{2 \cdot 3}} = \sqrt[5]{3^6} $

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим $ 3^6 $ в виде $ 3^5 \cdot 3^1 $: $ \sqrt[5]{3^6} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{3} = 3\sqrt[5]{3} $

Ответ: $ 3\sqrt[5]{3} $

888. a) $\frac{2^{-3} \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2}{2^{-2} + \left(\frac{1}{5}\right)^0 + \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}}$

б) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \cdot 3^{-1} + (-1,51)^0}{16^0 \cdot 2^{-2}}$

а)

Для решения данного выражения необходимо поочередно упростить числитель и знаменатель, используя свойства степеней, а затем выполнить деление.

1. Вычислим значение числителя: $ 2^{-3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

Для этого воспользуемся свойствами степеней: $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $ и $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n $.

• $ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $
• $ \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} $
• $ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $

Теперь перемножим полученные значения:

$ \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 16 \cdot 1}{8 \cdot 9 \cdot 4} = \frac{16}{288} $

Сократим дробь на 16: $ \frac{16}{288} = \frac{1}{18} $.

2. Вычислим значение знаменателя: $ 2^{-2} + \left(\frac{1}{5}\right)^0 + \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} $

Используем те же свойства, а также свойство $ a^0 = 1 $ для любого $ a \neq 0 $.

• $ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $
• $ \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1 $
• $ \left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3} $

Сложим полученные значения:

$ \frac{1}{4} + 1 + \frac{4}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{3}{12} + \frac{12}{12} + \frac{16}{12} = \frac{3 + 12 + 16}{12} = \frac{31}{12} $

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$ \frac{\frac{1}{18}}{\frac{31}{12}} = \frac{1}{18} \cdot \frac{12}{31} = \frac{12}{18 \cdot 31} $

Сократим дробь на 6:

$ \frac{2}{3 \cdot 31} = \frac{2}{93} $

Ответ: $ \frac{2}{93} $

б)

Решим данное выражение по действиям.

1. Вычислим значение числителя: $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \cdot 3^{-1} + (-1,51)^0 $

Используем свойства степеней:

• $ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 $
• $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $
• $ (-1,51)^0 = 1 $

Подставим значения в выражение для числителя:

$ 9 \cdot \frac{1}{3} + 1 = 3 + 1 = 4 $

2. Вычислим значение знаменателя: $ 16^0 \cdot 2^{-2} $

• $ 16^0 = 1 $
• $ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $

Подставим значения в выражение для знаменателя:

$ 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $

3. Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{4}{\frac{1}{4}} = 4 \cdot 4 = 16 $

Ответ: $ 16 $

889. Сравните числа, укажите их на координатной оси:

а) $0,26$; $(-\frac{1}{2})^2$; $(0,(24))^0$;

б) $(-\frac{1}{3})^3$; $-(0,(1))^0$; $-0,12$;

в) $(\sqrt{4})^2$; $\pi^2$; $(-1,2)^2$;

г) $(-3)^2$; $\sqrt{81}$; $\frac{1008}{18}$.

а)

Для сравнения чисел $0,26$; $(-\frac{1}{2})^2$; $(0,(24))^0$ необходимо сначала их упростить.

1. $0,26$ — уже в виде десятичной дроби.

2. Вычислим значение второго выражения: $(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

3. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Так как $0,(24) \neq 0$, то $(0,(24))^0 = 1$.

Теперь сравним полученные числа: $0,25$, $0,26$ и $1$.

Располагая их в порядке возрастания, получаем: $0,25 < 0,26 < 1$.

Следовательно, в исходных обозначениях: $(-\frac{1}{2})^2 < 0,26 < (0,(24))^0$.

Отметим эти числа на координатной оси:

Ответ: $(-\frac{1}{2})^2 < 0,26 < (0,(24))^0$.

б)

Для сравнения чисел $(-\frac{1}{3})^3$; $-(0,(1))^0$; $-0,12$ упростим каждое выражение.

1. Вычислим значение первого выражения: $(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$. Для удобства сравнения переведем в десятичную дробь: $-\frac{1}{27} \approx -0,037...$

2. Упростим второе выражение: $(0,(1))^0 = 1$, так как $0,(1) \neq 0$. Следовательно, $-(0,(1))^0 = -1$.

3. $-0,12$ — уже в виде десятичной дроби.

Теперь сравним полученные числа: $-\frac{1}{27}$, $-1$ и $-0,12$.

Располагая их в порядке возрастания, получаем: $-1 < -0,12 < -\frac{1}{27}$.

Следовательно, в исходных обозначениях: $-(0,(1))^0 < -0,12 < (-\frac{1}{3})^3$.

Отметим эти числа на координатной оси:

Ответ: $-(0,(1))^0 < -0,12 < (-\frac{1}{3})^3$.

в)

Для сравнения чисел $(\sqrt{4})^2$; $\pi^2$; $(-1,2)^2$ упростим каждое выражение.

1. Вычислим значение первого выражения: $(\sqrt{4})^2 = 4$.

2. Вычислим значение второго выражения. Приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, тогда $\pi^2 \approx (3,14159)^2 \approx 9,8696$.

3. Вычислим значение третьего выражения: $(-1,2)^2 = 1,44$.

Теперь сравним полученные числа: $4$, $\pi^2 \approx 9,87$ и $1,44$.

Располагая их в порядке возрастания, получаем: $1,44 < 4 < \pi^2$.

Следовательно, в исходных обозначениях: $(-1,2)^2 < (\sqrt{4})^2 < \pi^2$.

Отметим эти числа на координатной оси:

Ответ: $(-1,2)^2 < (\sqrt{4})^2 < \pi^2$.

г)

Для сравнения чисел $(-3)^2$; $\sqrt{81}$; $\frac{1008}{18}$ упростим каждое выражение.

1. Вычислим значение первого выражения: $(-3)^2 = 9$.

2. Вычислим значение второго выражения: $\sqrt{81} = 9$.

3. Вычислим значение третьего выражения: $\frac{1008}{18} = 56$.

Теперь сравним полученные числа: $9$, $9$ и $56$.

Располагая их в порядке возрастания, получаем: $9 = 9 < 56$.

Следовательно, в исходных обозначениях: $(-3)^2 = \sqrt{81} < \frac{1008}{18}$.

Отметим эти числа на координатной оси:

Ответ: $(-3)^2 = \sqrt{81} < \frac{1008}{18}$.

890. Докажите, что:

a) $5 < \sqrt{26};$

б) $3 < \sqrt{13};$

в) $\sqrt{7} < 2,7;$

г) $\sqrt{11} < 3,4;$

д) $1,09 < \sqrt{1,2} < 1,1;$

е) $1,4 < \sqrt{2,1} < 1,45.$

а) Чтобы доказать неравенство $5 < \sqrt{26}$, возведем обе части неравенства в квадрат. Поскольку обе части неравенства положительны, знак неравенства при этом не изменится.
$5^2 = 25$
$(\sqrt{26})^2 = 26$
Сравним полученные результаты: $25 < 26$.
Так как $5^2 < 26$, то и исходное неравенство $5 < \sqrt{26}$ является верным, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $3 < \sqrt{13}$, возведем обе части в квадрат.
$3^2 = 9$
$(\sqrt{13})^2 = 13$
Сравниваем квадраты чисел: $9 < 13$.
Поскольку $3^2 < 13$ и обе части исходного неравенства положительны, то неравенство $3 < \sqrt{13}$ верно.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Для доказательства неравенства $\sqrt{7} < 2,7$ возведем обе его части в квадрат.
$(\sqrt{7})^2 = 7$
$2,7^2 = 7,29$
Сравниваем полученные значения: $7 < 7,29$.
Так как $(\sqrt{7})^2 < 2,7^2$ и обе части исходного неравенства положительны, то $\sqrt{7} < 2,7$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $\sqrt{11} < 3,4$, возведем в квадрат обе его части, так как они положительны.
$(\sqrt{11})^2 = 11$
$3,4^2 = 11,56$
Сравниваем результаты: $11 < 11,56$.
Поскольку $11 < 3,4^2$, исходное неравенство $\sqrt{11} < 3,4$ верно.
Ответ: Неравенство доказано.

д) Для доказательства двойного неравенства $1,09 < \sqrt{1,2} < 1,1$ возведем все три его части в квадрат. Так как все части положительны, знаки неравенств сохранятся.
$1,09^2 = 1,1881$
$(\sqrt{1,2})^2 = 1,2$
$1,1^2 = 1,21$
Теперь сравним полученные значения, подставив их в неравенство: $1,1881 < 1,2 < 1,21$.
Это двойное неравенство верно, так как $1,1881 < 1,2$ и $1,2 < 1,21$.
Следовательно, исходное неравенство $1,09 < \sqrt{1,2} < 1,1$ также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

е) Для доказательства двойного неравенства $1,4 < \sqrt{2,1} < 1,45$ возведем все три его части в квадрат.
$1,4^2 = 1,96$
$(\sqrt{2,1})^2 = 2,1$
$1,45^2 = 2,1025$
Подставим полученные значения в неравенство и сравним их: $1,96 < 2,1 < 2,1025$.
Данное двойное неравенство является верным, так как $1,96 < 2,1$ и $2,1 < 2,1025$.
Следовательно, исходное неравенство $1,4 < \sqrt{2,1} < 1,45$ также является верным.
Ответ: Неравенство доказано.

891. Какое из чисел больше:

а) $\pi$ или $\sqrt{2}+\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ или $\sqrt{8}+\sqrt{2}$?

а)

Чтобы сравнить числа $\pi$ и $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, сравним их квадраты, так как оба числа положительны. Знак неравенства для чисел и их квадратов будет одинаковым.

Квадрат числа $\pi$ равен $\pi^2$.

Квадрат числа $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ равен:

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Теперь сравним $\pi^2$ и $5 + 2\sqrt{6}$.

Для этого воспользуемся оценками. Известно, что $\pi < 3,142$.

Следовательно, $\pi^2 < (3,142)^2 = 9,872164$.

Теперь оценим снизу значение $5 + 2\sqrt{6}$.

Поскольку $2,449^2 = 5,997601 < 6$, то $\sqrt{6} > 2,449$.

Тогда $2\sqrt{6} > 2 \cdot 2,449 = 4,898$.

И, следовательно, $5 + 2\sqrt{6} > 5 + 4,898 = 9,898$.

Мы получили, что $\pi^2 < 9,872164$ и $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} > 9,898$.

Так как $9,898 > 9,872164$, то $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 > \pi^2$.

Поскольку оба исходных числа положительны, отсюда следует, что $\sqrt{2} + \sqrt{3} > \pi$.

Ответ: Число $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ больше числа $\pi$.

б)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{8} + \sqrt{2}$, сравним их квадраты, так как оба числа являются положительными. Знак неравенства для чисел и их квадратов будет одинаковым.

Возведём в квадрат первое число:

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$.

Возведём в квадрат второе число:

$(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{16} + 2 = 10 + 2 \cdot 4 = 10 + 8 = 18$.

Теперь сравним полученные квадраты: $10 + 2\sqrt{21}$ и $18$.

Сравнение $10 + 2\sqrt{21}$ и $18$ эквивалентно сравнению $2\sqrt{21}$ и $8$ (вычли 10 из обеих частей).

Сравнение $2\sqrt{21}$ и $8$ эквивалентно сравнению $\sqrt{21}$ и $4$ (разделили на 2).

Представим 4 в виде корня: $4 = \sqrt{16}$.

Так как $21 > 16$, то и $\sqrt{21} > \sqrt{16}$.

Следовательно, $\sqrt{21} > 4$.

Это означает, что $10 + 2\sqrt{21} > 18$.

Таким образом, мы показали, что $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 > (\sqrt{8} + \sqrt{2})^2$.

Поскольку оба исходных числа положительны, из этого следует, что $\sqrt{7} + \sqrt{3} > \sqrt{8} + \sqrt{2}$.

Ответ: Число $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ больше числа $\sqrt{8}+\sqrt{2}$.

892. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt{8};$

б) $\sqrt{28};$

в) $\sqrt{320};$

г) $\sqrt{32};$

д) $\sqrt{175};$

е) $\sqrt{96};$

ж) $\sqrt{12\frac{1}{2}};$

з) $\sqrt{\frac{1}{0.75}}.$

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{8}$, представим подкоренное выражение 8 в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Наибольший такой множитель — это 4, так как $8 = 4 \cdot 2$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$.

б) Для выражения $\sqrt{28}$ находим наибольший делитель, являющийся полным квадратом. Число 28 можно представить как произведение $4 \cdot 7$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Ответ: $2\sqrt{7}$.

в) Для выражения $\sqrt{320}$ найдем наибольший множитель-квадрат. Для этого можно разложить число 320 на множители. $320 = 32 \cdot 10 = 16 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 16 \cdot 4 \cdot 5 = 64 \cdot 5$. Наибольший множитель, являющийся полным квадратом, — это 64.
Выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.
Ответ: $8\sqrt{5}$.

г) Для выражения $\sqrt{32}$ наибольшим делителем, который является полным квадратом, является 16, так как $32 = 16 \cdot 2$.
Выносим множитель:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

д) В выражении $\sqrt{175}$ подкоренное число 175 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 25 (которое является полным квадратом). $175 = 25 \cdot 7$.
Выносим множитель:
$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{7} = 5\sqrt{7}$.
Ответ: $5\sqrt{7}$.

е) Для выражения $\sqrt{96}$ находим наибольший множитель-квадрат. Разложим 96 на множители: $96 = 16 \cdot 6$. Число 16 является квадратом числа 4.
Выносим множитель:
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.
Ответ: $4\sqrt{6}$.

ж) В выражении $\sqrt{12\frac{1}{2}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$12\frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$.
Теперь извлекаем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
Чтобы упростить выражение (избавиться от иррациональности в знаменателе), умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

з) В выражении $\sqrt{\frac{1}{0,75}}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Подставим это значение в исходное выражение и упростим подкоренное выражение:
$\sqrt{\frac{1}{0,75}} = \sqrt{\frac{1}{3/4}} = \sqrt{1 \cdot \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$.
Теперь воспользуемся свойством корня из дроби:
$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

893. Внесите множитель под знак корня:

a) $5\sqrt{0,6};$

б) $11\sqrt{\frac{2}{11}};$

в) $\frac{1}{2}\sqrt{6};$

г) $\frac{2}{3}\sqrt{\frac{6}{5}}.$

Для того чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить его на подкоренное выражение. Это действие основано на свойстве $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ для $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

а) Внесем множитель $5$ под знак корня, возведя его в квадрат и умножив на $0,6$.

$5\sqrt{0,6} = \sqrt{5^2 \cdot 0,6} = \sqrt{25 \cdot 0,6} = \sqrt{15}$

Ответ: $\sqrt{15}$

б) Внесем множитель $11$ под знак корня, возведя его в квадрат и умножив на $\frac{2}{11}$.

$11\sqrt{\frac{2}{11}} = \sqrt{11^2 \cdot \frac{2}{11}} = \sqrt{121 \cdot \frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{121 \cdot 2}{11}} = \sqrt{11 \cdot 2} = \sqrt{22}$

Ответ: $\sqrt{22}$

в) Внесем множитель $\frac{1}{2}$ под знак корня, возведя его в квадрат и умножив на $6$.

$\frac{1}{2}\sqrt{6} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 6} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 6} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{3}{2}}$

г) Внесем множитель $\frac{2}{3}$ под знак корня, возведя его в квадрат и умножив на $\frac{6}{5}$.

$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{6}{5}} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{6}{5}} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot \frac{6}{5}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 6}{9 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{24}{45}}$

Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\sqrt{\frac{24 \div 3}{45 \div 3}} = \sqrt{\frac{8}{15}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{8}{15}}$

894. Пользуясь приближённым значением:

a) $\sqrt{2} \approx 1,41$, вычислите приближённо $\sqrt{\frac{1}{2}}$; $\sqrt{\frac{1}{8}}$; $\sqrt{4,5}$.

б) $\sqrt{6} \approx 2,45$, вычислите приближённо $\sqrt{\frac{2}{3}}$; $\sqrt{\frac{3}{2}}$; $\sqrt{\frac{3}{8}}$.

а) Для вычислений используется приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,41$.

Для $\sqrt{\frac{1}{2}}$:
Преобразуем выражение, избавляясь от иррациональности в знаменателе:
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем приближенное значение и вычисляем:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,41}{2} = 0,705$.
Ответ: $0,705$.

Для $\sqrt{\frac{1}{8}}$:
Упростим подкоренное выражение и избавимся от иррациональности:
$\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Подставляем приближенное значение и вычисляем:
$\frac{\sqrt{2}}{4} \approx \frac{1,41}{4} = 0,3525$.
Ответ: $0,3525$.

Для $\sqrt{4,5}$:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и преобразуем выражение:
$\sqrt{4,5} = \sqrt{\frac{45}{10}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем приближенное значение и вычисляем:
$\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{3 \cdot 1,41}{2} = \frac{4,23}{2} = 2,115$.
Ответ: $2,115$.

б) Для вычислений используется приближенное значение $\sqrt{6} \approx 2,45$.

Для $\sqrt{\frac{2}{3}}$:
Преобразуем выражение так, чтобы использовать $\sqrt{6}$:
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Подставляем приближенное значение и вычисляем:
$\frac{\sqrt{6}}{3} \approx \frac{2,45}{3} \approx 0,817$.
Ответ: $0,817$.

Для $\sqrt{\frac{3}{2}}$:
Преобразуем выражение:
$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Подставляем приближенное значение и вычисляем:
$\frac{\sqrt{6}}{2} \approx \frac{2,45}{2} = 1,225$.
Ответ: $1,225$.

Для $\sqrt{\frac{3}{8}}$:
Преобразуем выражение:
$\sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Подставляем приближенное значение и вычисляем:
$\frac{\sqrt{6}}{4} \approx \frac{2,45}{4} = 0,6125$.
Ответ: $0,6125$.

895. Преобразуйте дробь таким образом, чтобы знаменатель не со-держал чисел под знаком корня:

а) $\frac{1}{\sqrt{3}}$;

б) $\frac{3}{\sqrt{3}}$;

в) $\frac{2}{\sqrt{2}}$;

г) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

д) $\frac{1}{3+\sqrt{7}}$;

е) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{3}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $. Это основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значения дроби.

$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

б) Для преобразования дроби $ \frac{3}{\sqrt{3}} $ домножим ее числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $.

$ \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} $

Затем сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $

в) Для преобразования дроби $ \frac{2}{\sqrt{2}} $ домножим ее числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.

$ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} $

Сократим дробь на 2:

$ \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{2} $

г) Чтобы избавиться от корня в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2}} $, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

д) В этом случае знаменатель является суммой $ 3 + \sqrt{7} $. Чтобы избавиться от корня, нужно домножить знаменатель на сопряженное ему выражение, то есть на $ 3 - \sqrt{7} $. Это делается для того, чтобы использовать формулу разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $. Домножим на это выражение и числитель, и знаменатель.

$ \frac{1}{3 + \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{3 - \sqrt{7}}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} $

Ответ: $ \frac{3 - \sqrt{7}}{2} $

е) Знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} $ является суммой двух корней. Для избавления от иррациональности домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{2} - \sqrt{3} $, чтобы снова применить формулу разности квадратов.

$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} $

Чтобы избавиться от знака минус в знаменателе, изменим знаки в числителе:

$ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} = -(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{3} - \sqrt{2} $

Упростите выражение (896–898):

896. а) $\sqrt{8} + 5\sqrt{9} - 3\sqrt{8} + 5\sqrt{7} + 2\sqrt{8} - 6\sqrt{7}$;

б) $7\sqrt{12} - 5\sqrt{27} + 8\sqrt{48} - 6\sqrt{75} + 2\sqrt{108}$;

в) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 3\sqrt{12} - 2\sqrt{243}$;

г) $\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + \sqrt{2} + \sqrt{128}$.

а) $\sqrt{8} + 5\sqrt{9} - 3\sqrt{8} + 5\sqrt{7} + 2\sqrt{8} - 6\sqrt{7}$

Для упрощения данного выражения необходимо сгруппировать и привести подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковыми подкоренными выражениями.

1. Сначала вычислим значение члена $5\sqrt{9}$. Поскольку $\sqrt{9} = 3$, то $5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$.

2. Сгруппируем слагаемые с $\sqrt{8}$ и $\sqrt{7}$:

$(\sqrt{8} - 3\sqrt{8} + 2\sqrt{8}) + (5\sqrt{7} - 6\sqrt{7}) + 15$

3. Выполним действия в каждой группе:

Для членов с $\sqrt{8}$: $(1 - 3 + 2)\sqrt{8} = 0 \cdot \sqrt{8} = 0$.

Для членов с $\sqrt{7}$: $(5 - 6)\sqrt{7} = -1 \cdot \sqrt{7} = -\sqrt{7}$.

4. Соберем все части вместе:

$0 - \sqrt{7} + 15 = 15 - \sqrt{7}$.

Ответ: $15 - \sqrt{7}$.

б) $7\sqrt{12} - 5\sqrt{27} + 8\sqrt{48} - 6\sqrt{75} + 2\sqrt{108}$

Для упрощения этого выражения сначала вынесем множители из-под знака каждого корня, чтобы привести их к общему виду.

1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

2. Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$7(2\sqrt{3}) - 5(3\sqrt{3}) + 8(4\sqrt{3}) - 6(5\sqrt{3}) + 2(6\sqrt{3}) = 14\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 32\sqrt{3} - 30\sqrt{3} + 12\sqrt{3}$.

3. Сложим коэффициенты при общем множителе $\sqrt{3}$:
$(14 - 15 + 32 - 30 + 12)\sqrt{3} = (-1 + 32 - 30 + 12)\sqrt{3} = (31 - 30 + 12)\sqrt{3} = (1 + 12)\sqrt{3} = 13\sqrt{3}$.

Ответ: $13\sqrt{3}$.

в) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 3\sqrt{12} - 2\sqrt{243}$

Упростим выражение, вынеся множители из-под знака корня, чтобы все слагаемые содержали $\sqrt{3}$.

1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$

2. Подставим упрощенные значения в выражение:
$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3(2\sqrt{3}) - 2(9\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 18\sqrt{3}$.

3. Сложим коэффициенты при общем множителе $\sqrt{3}$:
$(2 - 3 + 6 - 18)\sqrt{3} = (-1 + 6 - 18)\sqrt{3} = (5 - 18)\sqrt{3} = -13\sqrt{3}$.

Ответ: $-13\sqrt{3}$.

г) $\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + \sqrt{2} + \sqrt{128}$

Для упрощения данного выражения вынесем множители из-под знака корня, чтобы привести все слагаемые к общему виду с $\sqrt{2}$.

1. Упростим каждый корень:
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные корни в выражение:
$5\sqrt{2} - 5(2\sqrt{2}) + \sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + \sqrt{2} + 8\sqrt{2}$.

3. Сложим коэффициенты при общем множителе $\sqrt{2}$:
$(5 - 10 + 1 + 8)\sqrt{2} = (-5 + 1 + 8)\sqrt{2} = (-4 + 8)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.