Номер 891, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

891. Какое из чисел больше:

а) $\pi$ или $\sqrt{2}+\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ или $\sqrt{8}+\sqrt{2}$?

а)

Чтобы сравнить числа $\pi$ и $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, сравним их квадраты, так как оба числа положительны. Знак неравенства для чисел и их квадратов будет одинаковым.

Квадрат числа $\pi$ равен $\pi^2$.

Квадрат числа $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ равен:

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Теперь сравним $\pi^2$ и $5 + 2\sqrt{6}$.

Для этого воспользуемся оценками. Известно, что $\pi < 3,142$.

Следовательно, $\pi^2 < (3,142)^2 = 9,872164$.

Теперь оценим снизу значение $5 + 2\sqrt{6}$.

Поскольку $2,449^2 = 5,997601 < 6$, то $\sqrt{6} > 2,449$.

Тогда $2\sqrt{6} > 2 \cdot 2,449 = 4,898$.

И, следовательно, $5 + 2\sqrt{6} > 5 + 4,898 = 9,898$.

Мы получили, что $\pi^2 < 9,872164$ и $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} > 9,898$.

Так как $9,898 > 9,872164$, то $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 > \pi^2$.

Поскольку оба исходных числа положительны, отсюда следует, что $\sqrt{2} + \sqrt{3} > \pi$.

Ответ: Число $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ больше числа $\pi$.

б)

Чтобы сравнить числа $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{8} + \sqrt{2}$, сравним их квадраты, так как оба числа являются положительными. Знак неравенства для чисел и их квадратов будет одинаковым.

Возведём в квадрат первое число:

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$.

Возведём в квадрат второе число:

$(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{16} + 2 = 10 + 2 \cdot 4 = 10 + 8 = 18$.

Теперь сравним полученные квадраты: $10 + 2\sqrt{21}$ и $18$.

Сравнение $10 + 2\sqrt{21}$ и $18$ эквивалентно сравнению $2\sqrt{21}$ и $8$ (вычли 10 из обеих частей).

Сравнение $2\sqrt{21}$ и $8$ эквивалентно сравнению $\sqrt{21}$ и $4$ (разделили на 2).

Представим 4 в виде корня: $4 = \sqrt{16}$.

Так как $21 > 16$, то и $\sqrt{21} > \sqrt{16}$.

Следовательно, $\sqrt{21} > 4$.

Это означает, что $10 + 2\sqrt{21} > 18$.

Таким образом, мы показали, что $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 > (\sqrt{8} + \sqrt{2})^2$.

Поскольку оба исходных числа положительны, из этого следует, что $\sqrt{7} + \sqrt{3} > \sqrt{8} + \sqrt{2}$.

Ответ: Число $\sqrt{7}+\sqrt{3}$ больше числа $\sqrt{8}+\sqrt{2}$.