Номер 885, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

885. a) $\sqrt[3]{5^{-3}} : \sqrt[3]{5^6}$;

б) $\sqrt[4]{9} : \sqrt[4]{9^{-8}};$

в) $\sqrt[6]{7^{-2}} : \sqrt[4]{7^{-4}};$

г) $\sqrt[8]{2^{-10}} : \sqrt[8]{2^{-12}}.$

а) $\sqrt[3]{5^{-3}} : \sqrt[3]{5^6}$

Для решения данного примера представим каждый корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Первый член выражения: $\sqrt[3]{5^{-3}} = 5^{\frac{-3}{3}} = 5^{-1}$.

Второй член выражения: $\sqrt[3]{5^6} = 5^{\frac{6}{3}} = 5^2$.

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$5^{-1} : 5^2 = 5^{-1-2} = 5^{-3}$.

Вычислим конечный результат, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$.

Ответ: $\frac{1}{125}$.

б) $\sqrt[4]{9} : \sqrt[4]{9^{-8}}$

Упростим каждый член выражения по отдельности. Для этого представим число 9 как $3^2$ и воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Первый член: $\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Второй член: $\sqrt[4]{9^{-8}} = 9^{\frac{-8}{4}} = 9^{-2}$.

Используя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\sqrt{3} : \frac{1}{81} = \sqrt{3} \cdot 81 = 81\sqrt{3}$.

Ответ: $81\sqrt{3}$.

в) $\sqrt[6]{7^{-2}} : \sqrt[4]{7^{-4}}$

Поскольку показатели корней различны (6 и 4), необходимо представить оба выражения в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Первый член: $\sqrt[6]{7^{-2}} = 7^{\frac{-2}{6}} = 7^{-\frac{1}{3}}$.

Второй член: $\sqrt[4]{7^{-4}} = 7^{\frac{-4}{4}} = 7^{-1}$.

Далее выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$7^{-\frac{1}{3}} : 7^{-1} = 7^{-\frac{1}{3} - (-1)} = 7^{-\frac{1}{3} + 1} = 7^{-\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}$.

Запишем полученный результат в виде корня:

$7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$.

Ответ: $\sqrt[3]{49}$.

г) $\sqrt[8]{2^{-10}} : \sqrt[8]{2^{-12}}$

В данном случае показатели корней одинаковы, поэтому можно применить свойство частного корней: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

$\sqrt[8]{2^{-10}} : \sqrt[8]{2^{-12}} = \sqrt[8]{\frac{2^{-10}}{2^{-12}}}$.

Упростим подкоренное выражение, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\sqrt[8]{2^{-10 - (-12)}} = \sqrt[8]{2^{-10+12}} = \sqrt[8]{2^2}$.

Теперь упростим полученный корень. Это можно сделать, сократив показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель (в данном случае на 2), или представив корень в виде степени:

$\sqrt[8]{2^2} = 2^{\frac{2}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$.

Ответ: $\sqrt[4]{2}$.