Номер 879, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

879. Найдите значение выражения:

а) $2\sqrt{5\sqrt{48}} + 3\sqrt{40\sqrt{12}} - 2\sqrt{15\sqrt{27}};$

б) $30\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 3\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} + 2\sqrt[3]{0,125} + \sqrt[4]{0,0016}.$

a) $2\sqrt{5\sqrt{48}} + 3\sqrt{40\sqrt{12}} - 2\sqrt{15\sqrt{27}}$

Для решения этого выражения сначала упростим корни, находящиеся под внешними корнями:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$2\sqrt{5 \cdot 4\sqrt{3}} + 3\sqrt{40 \cdot 2\sqrt{3}} - 2\sqrt{15 \cdot 3\sqrt{3}} = 2\sqrt{20\sqrt{3}} + 3\sqrt{80\sqrt{3}} - 2\sqrt{45\sqrt{3}}$

Теперь воспользуемся свойством корней $\sqrt{a\sqrt{b}} = \sqrt{a}\sqrt{\sqrt{b}} = \sqrt{a}\sqrt[4]{b}$. Общий множитель здесь $\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[4]{3}$. Вынесем его за скобки:
$\sqrt[4]{3} \cdot (2\sqrt{20} + 3\sqrt{80} - 2\sqrt{45})$

Упростим оставшиеся подкоренные выражения в скобках:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Подставим эти значения в выражение в скобках:
$\sqrt[4]{3} \cdot (2 \cdot 2\sqrt{5} + 3 \cdot 4\sqrt{5} - 2 \cdot 3\sqrt{5}) = \sqrt[4]{3} \cdot (4\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 6\sqrt{5})$

Сложим и вычтем слагаемые в скобках:
$\sqrt[4]{3} \cdot ((4 + 12 - 6)\sqrt{5}) = \sqrt[4]{3} \cdot 10\sqrt{5} = 10\sqrt{5}\sqrt[4]{3}$

Для более компактной записи можно внести $\sqrt{5}$ под корень четвертой степени:
$\sqrt{5} = \sqrt{\sqrt{5^2}} = \sqrt[4]{25}$
$10\sqrt[4]{25} \cdot \sqrt[4]{3} = 10\sqrt[4]{25 \cdot 3} = 10\sqrt[4]{75}$

Ответ: $10\sqrt[4]{75}$

б) $30\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 3\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 5\sqrt[3]{144} + 2\sqrt[3]{0,125} + \sqrt[4]{0,0016}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. $30\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 30\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}} = 30\sqrt[3]{\frac{4}{8}} = 30 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = 30 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{2} = 15\sqrt[3]{4}$

2. $3\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9}} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{\frac{18}{27}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{18}}{3} = \frac{7\sqrt[3]{18}}{6}$

3. $5\sqrt[3]{144} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 18} = 5 \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{18} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{18} = 10\sqrt[3]{18}$

4. $2\sqrt[3]{0,125} = 2\sqrt[3]{\frac{125}{1000}} = 2\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

5. $\sqrt[4]{0,0016} = \sqrt[4]{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{10000}} = \frac{2}{10} = 0,2$

Теперь сложим все упрощенные слагаемые:
$15\sqrt[3]{4} + \frac{7\sqrt[3]{18}}{6} + 10\sqrt[3]{18} + 1 + 0,2$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(\frac{7\sqrt[3]{18}}{6} + 10\sqrt[3]{18}) = (\frac{7}{6} + 10)\sqrt[3]{18} = (\frac{7}{6} + \frac{60}{6})\sqrt[3]{18} = \frac{67}{6}\sqrt[3]{18}$
$1 + 0,2 = 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Итоговое выражение:
$15\sqrt[3]{4} + \frac{67}{6}\sqrt[3]{18} + \frac{6}{5}$

Это выражение не может быть упрощено дальше, так как $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[3]{18}$ не являются подобными радикалами.

Ответ: $15\sqrt[3]{4} + \frac{67}{6}\sqrt[3]{18} + 1,2$