Номер 886, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

886. а) $\sqrt[5]{3^3} \cdot \sqrt[5]{4^3}$;

б) $\sqrt[7]{4^2} \cdot \sqrt[7]{4^6}$;

в) $\sqrt[3]{12^2} \cdot \sqrt[3]{3^4}$;

г) $\sqrt[5]{7^4} \cdot \sqrt[5]{7^4}$.

а) Чтобы перемножить корни с одинаковым показателем, нужно перемножить подкоренные выражения, оставив показатель корня прежним. Это свойство можно записать в виде формулы: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. Применим это свойство к данному выражению: $\sqrt[5]{3^3} \cdot \sqrt[5]{4^3} = \sqrt[5]{3^3 \cdot 4^3}$. Далее воспользуемся свойством степеней $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$: $\sqrt[5]{3^3 \cdot 4^3} = \sqrt[5]{(3 \cdot 4)^3} = \sqrt[5]{12^3}$. Вычислим $12^3 = 1728$. Таким образом, выражение равно $\sqrt[5]{1728}$.
Ответ: $\sqrt[5]{12^3}$ или $\sqrt[5]{1728}$.

б) Используем то же свойство произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[7]{4^2} \cdot \sqrt[7]{4^6} = \sqrt[7]{4^2 \cdot 4^6}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. $\sqrt[7]{4^2 \cdot 4^6} = \sqrt[7]{4^{2+6}} = \sqrt[7]{4^8}$. Для упрощения представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей имеет степень, равную показателю корня: $\sqrt[7]{4^8} = \sqrt[7]{4^7 \cdot 4^1} = \sqrt[7]{4^7} \cdot \sqrt[7]{4}$. Так как $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), то $\sqrt[7]{4^7} = 4$. В результате получаем: $4 \cdot \sqrt[7]{4}$.
Ответ: $4\sqrt[7]{4}$.

в) Применяем свойство произведения корней: $\sqrt[3]{12^2} \cdot \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{12^2 \cdot 3^4}$. Разложим число 12 на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Подставим это разложение в выражение под корнем: $\sqrt[3]{(2^2 \cdot 3)^2 \cdot 3^4} = \sqrt[3]{(2^2)^2 \cdot 3^2 \cdot 3^4} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 3^{2+4}} = \sqrt[3]{2^4 \cdot 3^6}$. Теперь вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим степени в виде суммы, где одно из слагаемых кратно 3: $\sqrt[3]{2^{3+1} \cdot 3^6} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^1 \cdot (3^2)^3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{(3^2)^3} \cdot \sqrt[3]{2}$. Упрощаем: $2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 9 \cdot \sqrt[3]{2} = 18\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $18\sqrt[3]{2}$.

г) Используем свойство произведения корней: $\sqrt[5]{74} \cdot \sqrt[5]{74} = \sqrt[5]{74 \cdot 74} = \sqrt[5]{74^2}$. Можно вычислить значение $74^2$: $74^2 = 5476$. Получаем $\sqrt[5]{5476}$. Дальнейшее упрощение невозможно, так как разложение $74 = 2 \cdot 37$, и $74^2 = 2^2 \cdot 37^2$, а степени множителей (2) меньше показателя корня (5).
Ответ: $\sqrt[5]{74^2}$ или $\sqrt[5]{5476}$.