Номер 890, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

890. Докажите, что:

a) $5 < \sqrt{26};$

б) $3 < \sqrt{13};$

в) $\sqrt{7} < 2,7;$

г) $\sqrt{11} < 3,4;$

д) $1,09 < \sqrt{1,2} < 1,1;$

е) $1,4 < \sqrt{2,1} < 1,45.$

а) Чтобы доказать неравенство $5 < \sqrt{26}$, возведем обе части неравенства в квадрат. Поскольку обе части неравенства положительны, знак неравенства при этом не изменится.
$5^2 = 25$
$(\sqrt{26})^2 = 26$
Сравним полученные результаты: $25 < 26$.
Так как $5^2 < 26$, то и исходное неравенство $5 < \sqrt{26}$ является верным, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $3 < \sqrt{13}$, возведем обе части в квадрат.
$3^2 = 9$
$(\sqrt{13})^2 = 13$
Сравниваем квадраты чисел: $9 < 13$.
Поскольку $3^2 < 13$ и обе части исходного неравенства положительны, то неравенство $3 < \sqrt{13}$ верно.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Для доказательства неравенства $\sqrt{7} < 2,7$ возведем обе его части в квадрат.
$(\sqrt{7})^2 = 7$
$2,7^2 = 7,29$
Сравниваем полученные значения: $7 < 7,29$.
Так как $(\sqrt{7})^2 < 2,7^2$ и обе части исходного неравенства положительны, то $\sqrt{7} < 2,7$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $\sqrt{11} < 3,4$, возведем в квадрат обе его части, так как они положительны.
$(\sqrt{11})^2 = 11$
$3,4^2 = 11,56$
Сравниваем результаты: $11 < 11,56$.
Поскольку $11 < 3,4^2$, исходное неравенство $\sqrt{11} < 3,4$ верно.
Ответ: Неравенство доказано.

д) Для доказательства двойного неравенства $1,09 < \sqrt{1,2} < 1,1$ возведем все три его части в квадрат. Так как все части положительны, знаки неравенств сохранятся.
$1,09^2 = 1,1881$
$(\sqrt{1,2})^2 = 1,2$
$1,1^2 = 1,21$
Теперь сравним полученные значения, подставив их в неравенство: $1,1881 < 1,2 < 1,21$.
Это двойное неравенство верно, так как $1,1881 < 1,2$ и $1,2 < 1,21$.
Следовательно, исходное неравенство $1,09 < \sqrt{1,2} < 1,1$ также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

е) Для доказательства двойного неравенства $1,4 < \sqrt{2,1} < 1,45$ возведем все три его части в квадрат.
$1,4^2 = 1,96$
$(\sqrt{2,1})^2 = 2,1$
$1,45^2 = 2,1025$
Подставим полученные значения в неравенство и сравним их: $1,96 < 2,1 < 2,1025$.
Данное двойное неравенство является верным, так как $1,96 < 2,1$ и $2,1 < 2,1025$.
Следовательно, исходное неравенство $1,4 < \sqrt{2,1} < 1,45$ также является верным.
Ответ: Неравенство доказано.