Номер 895, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

895. Преобразуйте дробь таким образом, чтобы знаменатель не со-держал чисел под знаком корня:

а) $\frac{1}{\sqrt{3}}$;

б) $\frac{3}{\sqrt{3}}$;

в) $\frac{2}{\sqrt{2}}$;

г) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

д) $\frac{1}{3+\sqrt{7}}$;

е) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{3}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $. Это основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значения дроби.

$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

б) Для преобразования дроби $ \frac{3}{\sqrt{3}} $ домножим ее числитель и знаменатель на $ \sqrt{3} $.

$ \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} $

Затем сократим полученную дробь на 3:

$ \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $

в) Для преобразования дроби $ \frac{2}{\sqrt{2}} $ домножим ее числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.

$ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} $

Сократим дробь на 2:

$ \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{2} $

г) Чтобы избавиться от корня в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2}} $, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

д) В этом случае знаменатель является суммой $ 3 + \sqrt{7} $. Чтобы избавиться от корня, нужно домножить знаменатель на сопряженное ему выражение, то есть на $ 3 - \sqrt{7} $. Это делается для того, чтобы использовать формулу разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $. Домножим на это выражение и числитель, и знаменатель.

$ \frac{1}{3 + \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{3 - \sqrt{7}}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3 - \sqrt{7}}{9 - 7} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2} $

Ответ: $ \frac{3 - \sqrt{7}}{2} $

е) Знаменатель дроби $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} $ является суммой двух корней. Для избавления от иррациональности домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{2} - \sqrt{3} $, чтобы снова применить формулу разности квадратов.

$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} $

Чтобы избавиться от знака минус в знаменателе, изменим знаки в числителе:

$ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} = -(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{3} - \sqrt{2} $