Номер 898, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

898. a) $((7\sqrt{2} - 5\sqrt{6}) - (3\sqrt{8} - 4\sqrt{24})) \cdot 3\sqrt{2};$

б) $((2\sqrt{20} - 7\sqrt{8}) - (3\sqrt{5} - 3\sqrt{18})) \cdot 4\sqrt{10}.$

а) $((7\sqrt{2}-5\sqrt{6})-(3\sqrt{8}-4\sqrt{24}))\cdot3\sqrt{2}$

1. Сначала упростим выражения с корнями в скобках. Для этого вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

2. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$((7\sqrt{2}-5\sqrt{6})-(3 \cdot 2\sqrt{2}-4 \cdot 2\sqrt{6}))\cdot3\sqrt{2} = ((7\sqrt{2}-5\sqrt{6})-(6\sqrt{2}-8\sqrt{6}))\cdot3\sqrt{2}$

3. Раскроем внутренние скобки, изменив знаки у вычитаемого:

$(7\sqrt{2}-5\sqrt{6}-6\sqrt{2}+8\sqrt{6})\cdot3\sqrt{2}$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в скобках:

$((7\sqrt{2}-6\sqrt{2})+(-5\sqrt{6}+8\sqrt{6}))\cdot3\sqrt{2} = (\sqrt{2}+3\sqrt{6})\cdot3\sqrt{2}$

5. Теперь умножим полученное выражение в скобках на $3\sqrt{2}$, используя распределительный закон умножения:

$\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} + 3\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = 3 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) + 9 \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}) = 3 \cdot 2 + 9 \cdot \sqrt{12}$

6. Упростим получившееся выражение:

$6 + 9\sqrt{12} = 6 + 9\sqrt{4 \cdot 3} = 6 + 9 \cdot 2\sqrt{3} = 6 + 18\sqrt{3}$

Ответ: $6+18\sqrt{3}$

б) $((2\sqrt{20}-7\sqrt{8})-(3\sqrt{5}-3\sqrt{18}))\cdot4\sqrt{10}$

1. Упростим выражения с корнями в скобках, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$((2 \cdot 2\sqrt{5}-7 \cdot 2\sqrt{2})-(3\sqrt{5}-3 \cdot 3\sqrt{2}))\cdot4\sqrt{10} = ((4\sqrt{5}-14\sqrt{2})-(3\sqrt{5}-9\sqrt{2}))\cdot4\sqrt{10}$

3. Раскроем внутренние скобки:

$(4\sqrt{5}-14\sqrt{2}-3\sqrt{5}+9\sqrt{2})\cdot4\sqrt{10}$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$((4\sqrt{5}-3\sqrt{5})+(-14\sqrt{2}+9\sqrt{2}))\cdot4\sqrt{10} = (\sqrt{5}-5\sqrt{2})\cdot4\sqrt{10}$

5. Умножим полученное выражение в скобках на $4\sqrt{10}$:

$\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{10} - 5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{10} = 4\sqrt{5 \cdot 10} - 20\sqrt{2 \cdot 10} = 4\sqrt{50} - 20\sqrt{20}$

6. Упростим получившиеся корни:

$4\sqrt{50} = 4\sqrt{25 \cdot 2} = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

$20\sqrt{20} = 20\sqrt{4 \cdot 5} = 20 \cdot 2\sqrt{5} = 40\sqrt{5}$

7. Подставим упрощенные значения и запишем окончательный результат:

$20\sqrt{2} - 40\sqrt{5}$

Ответ: $20\sqrt{2}-40\sqrt{5}$