Номер 901, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

901. Задачи М. Штифеля (Германия, 1486–1567).

а) Проверьте равенство $\sqrt{16 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt[3]{4096} + \sqrt[3]{64}$.

б) Упростите выражение $\sqrt[3]{45 + \sqrt{1682}}$.

а) Проверим равенство, вычислив значения его левой и правой частей.

Вычислим значение левой части равенства:

$\sqrt{16 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt{16 + 2} = \sqrt{18}$

Значение левой части равно $\sqrt{18}$. Мы можем также упростить это выражение: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

Вычислим значение правой части равенства:

$\sqrt{\sqrt[3]{4096}} + \sqrt{\sqrt[3]{64}}$

Используем свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$:

Первое слагаемое: $\sqrt{\sqrt[3]{4096}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4096} = \sqrt[6]{4096}$. Поскольку $4^6 = (4^3)^2 = 64^2 = 4096$, то $\sqrt[6]{4096} = 4$. Альтернативно, можно сначала извлечь кубический корень: $\sqrt[3]{4096}=16$, а затем квадратный корень: $\sqrt{16}=4$.

Второе слагаемое: $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$. Альтернативно: $\sqrt[3]{64}=4$, а $\sqrt{4}=2$.

Сумма в правой части равна: $4 + 2 = 6$.

Теперь сравним левую и правую части:

Левая часть: $\sqrt{18}$.

Правая часть: $6$.

Чтобы проверить, равно ли $\sqrt{18}$ числу $6$, возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{18})^2 = 18$

$6^2 = 36$

Поскольку $18 \neq 36$, то и $\sqrt{18} \neq 6$. Следовательно, исходное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $\sqrt{18} \neq 6$.

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{45 + \sqrt{1682}}$.

Сначала упростим подкоренное выражение $\sqrt{1682}$. Разложим 1682 на множители:

$1682 = 2 \cdot 841$.

Число 841 является полным квадратом, так как $29^2 = 841$.

Тогда $\sqrt{1682} = \sqrt{841 \cdot 2} = 29\sqrt{2}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$.

Предположим, что это выражение можно представить в виде $a + b\sqrt{2}$, где $a$ и $b$ - рациональные числа. Возведем $a + b\sqrt{2}$ в куб:

$(a + b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{2}) + 3a(b\sqrt{2})^2 + (b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{2} + 6ab^2 + 2b^3\sqrt{2}$

Сгруппируем слагаемые: $(a^3 + 6ab^2) + (3a^2b + 2b^3)\sqrt{2}$.

Приравняем это выражение к $45 + 29\sqrt{2}$ и составим систему уравнений для $a$ и $b$, предполагая, что они целые числа:

$\begin{cases} a^3 + 6ab^2 = 45 \\ 3a^2b + 2b^3 = 29 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} a(a^2 + 6b^2) = 45 \\ b(3a^2 + 2b^2) = 29 \end{cases}$

Поскольку 29 - простое число, а $a$ и $b$, как мы предполагаем, целые, то $b$ может быть только $\pm1$ или $\pm29$. Проверим случай, когда $a$ и $b$ - натуральные числа. Тогда $b=1$ или $b=29$.

Если $b=1$, второе уравнение примет вид: $1(3a^2 + 2 \cdot 1^2) = 29$, то есть $3a^2 + 2 = 29$.

$3a^2 = 27$

$a^2 = 9$

$a = 3$ (так как мы ищем натуральное решение).

Теперь подставим $a=3$ и $b=1$ в первое уравнение для проверки:

$3(3^2 + 6 \cdot 1^2) = 3(9 + 6) = 3 \cdot 15 = 45$.

Равенство выполняется. Значит, мы нашли решение: $a=3$, $b=1$.

Следовательно, $\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} = 3 + 1 \cdot \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}$.

Ответ: $3 + \sqrt{2}$.