Номер 902, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

902. Изобразите на координатной оси числа:

а) $ \sqrt{2} $ и 1,4;

б) 1,7 и $ \sqrt{3} $;

в) $ \sqrt{3} $; $ \sqrt{5} $; $ \sqrt{2}+1 $;

г) $ \sqrt{11} $; 3,2; $ \sqrt{13} $.

а) Чтобы изобразить на координатной оси числа $\sqrt{2}$ и $1,4$, необходимо их сравнить. Для этого возведем оба числа в квадрат, так как оба они положительны:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(1,4)^2 = 1,96$

Поскольку $2 > 1,96$, то и $\sqrt{2} > 1,4$. Это означает, что на координатной оси точка, соответствующая числу $1,4$, будет находиться левее точки, соответствующей числу $\sqrt{2}$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $1,4$; $\sqrt{2}$.

б) Чтобы изобразить на координатной оси числа $1,7$ и $\sqrt{3}$, сравним их. Возведем оба положительных числа в квадрат:

$(1,7)^2 = 2,89$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Так как $2,89 < 3$, то $1,7 < \sqrt{3}$. Следовательно, на координатной оси число $1,7$ расположено левее числа $\sqrt{3}$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $1,7$; $\sqrt{3}$.

в) Необходимо расположить на координатной оси числа $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + 1$. Для этого сравним их попарно.

1. Сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, а $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.

2. Сравним $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2} + 1$. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

Теперь сравним $5$ и $3 + 2\sqrt{2}$. Вычтем $3$ из обеих частей неравенства: $5 - 3$ и $2\sqrt{2}$, то есть $2$ и $2\sqrt{2}$. Так как $1 < \sqrt{2}$, то $2 < 2\sqrt{2}$. Следовательно, $5 < 3 + 2\sqrt{2}$, а значит $\sqrt{5} < \sqrt{2} + 1$.

В результате мы получили цепочку неравенств: $\sqrt{3} < \sqrt{5} < \sqrt{2} + 1$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$; $\sqrt{2} + 1$.

г) Чтобы изобразить на координатной оси числа $\sqrt{11}$, $3,2$ и $\sqrt{13}$, сравним их. Все числа положительны, поэтому мы можем сравнивать их квадраты.

$(\sqrt{11})^2 = 11$

$(3,2)^2 = 10,24$

$(\sqrt{13})^2 = 13$

Сравнивая полученные квадраты, видим, что $10,24 < 11 < 13$.

Это означает, что для исходных чисел выполняется неравенство: $3,2 < \sqrt{11} < \sqrt{13}$.

Ответ: На координатной оси числа расположены в следующем порядке (слева направо): $3,2$; $\sqrt{11}$; $\sqrt{13}$.