Номер 899, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

899. Возведите выражение в степень:

а) $ (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 $;

б) $ (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 $.

а) Для того чтобы возвести выражение $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ в степень, воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{2}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Теперь вычислим каждое слагаемое:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{3 \cdot 2} = 2\sqrt{6}$

Соберем все вместе:

$3 - 2\sqrt{6} + 2$

Сложим числовые значения:

$3 + 2 = 5$

Таким образом, получаем:

$5 - 2\sqrt{6}$

Ответ: $5 - 2\sqrt{6}$

б) Для возведения выражения $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$ в степень, применим формулу сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В этом выражении $a = \sqrt{6}$ и $b = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{6 \cdot 2} = 2\sqrt{12}$

Упростим выражение $2\sqrt{12}$. Для этого вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Тогда $2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Теперь подставим все вычисленные значения обратно в выражение:

$6 + 4\sqrt{3} + 2$

Сложим целые числа:

$6 + 2 = 8$

В итоге получаем:

$8 + 4\sqrt{3}$

Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$