Номер 903, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

903. Укажите, если возможно, натуральное число, квадратный корень из которого заключён между:

а) $4000$ и $4001$;

б) $400,0$ и $400,1$;

в) $40,00$ и $40,01$;

г) $1002$ и $1003$;

д) $100,2$ и $100,3$;

е) $10,02$ и $10,03$.

Общий подход для решения всех подпунктов: чтобы найти натуральное число $n$, квадратный корень из которого заключен между двумя числами $a$ и $b$ (т.е. $a < \sqrt{n} < b$), нужно возвести это двойное неравенство в квадрат. Поскольку все его части положительны, знаки неравенства сохранятся: $a^2 < n < b^2$. Задача сводится к нахождению натурального (целого) числа $n$ в интервале $(a^2, b^2)$. Если в этом интервале есть хотя бы одно целое число, то такое натуральное число $n$ существует. Если же интервал не содержит целых чисел, то найти такое $n$ невозможно.

а) 4000 и 4001

Ищем натуральное число $n$, такое что $4000 < \sqrt{n} < 4001$.

Возводим в квадрат: $4000^2 < n < 4001^2$.

Вычисляем значения границ:

$4000^2 = 16\ 000\ 000$.

$4001^2 = (4000 + 1)^2 = 4000^2 + 2 \cdot 4000 \cdot 1 + 1^2 = 16\ 000\ 000 + 8000 + 1 = 16\ 008\ 001$.

Получаем неравенство: $16\ 000\ 000 < n < 16\ 008\ 001$.

В этом интервале есть много натуральных чисел. В качестве примера можно взять наименьшее из них: $n = 16\ 000\ 001$.

Ответ: $16\ 000\ 001$.

б) 400,0 и 400,1

Ищем натуральное число $n$, такое что $400,0 < \sqrt{n} < 400,1$.

Возводим в квадрат: $400,0^2 < n < 400,1^2$.

Вычисляем значения границ:

$400,0^2 = 160\ 000$.

$400,1^2 = (400 + 0,1)^2 = 400^2 + 2 \cdot 400 \cdot 0,1 + 0,1^2 = 160\ 000 + 80 + 0,01 = 160\ 080,01$.

Получаем неравенство: $160\ 000 < n < 160\ 080,01$.

В этом интервале есть натуральные числа (от $160\ 001$ до $160\ 080$). В качестве примера возьмем $n = 160\ 001$.

Ответ: $160\ 001$.

в) 40,00 и 40,01

Ищем натуральное число $n$, такое что $40,00 < \sqrt{n} < 40,01$.

Возводим в квадрат: $40,00^2 < n < 40,01^2$.

Вычисляем значения границ:

$40,00^2 = 1600$.

$40,01^2 = (40 + 0,01)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 0,01 + 0,01^2 = 1600 + 0,8 + 0,0001 = 1600,8001$.

Получаем неравенство: $1600 < n < 1600,8001$.

В интервале $(1600; 1600,8001)$ нет ни одного натурального (целого) числа. Следовательно, найти такое число $n$ невозможно.

Ответ: Такого натурального числа не существует.

г) 1002 и 1003

Ищем натуральное число $n$, такое что $1002 < \sqrt{n} < 1003$.

Возводим в квадрат: $1002^2 < n < 1003^2$.

Вычисляем значения границ:

$1002^2 = (1000 + 2)^2 = 1\ 000\ 000 + 4000 + 4 = 1\ 004\ 004$.

$1003^2 = (1000 + 3)^2 = 1\ 000\ 000 + 6000 + 9 = 1\ 006\ 009$.

Получаем неравенство: $1\ 004\ 004 < n < 1\ 006\ 009$.

В этом интервале есть много натуральных чисел. В качестве примера возьмем $n = 1\ 004\ 005$.

Ответ: $1\ 004\ 005$.

д) 100,2 и 100,3

Ищем натуральное число $n$, такое что $100,2 < \sqrt{n} < 100,3$.

Возводим в квадрат: $100,2^2 < n < 100,3^2$.

Вычисляем значения границ:

$100,2^2 = (100 + 0,2)^2 = 10000 + 2 \cdot 100 \cdot 0,2 + 0,2^2 = 10000 + 40 + 0,04 = 10040,04$.

$100,3^2 = (100 + 0,3)^2 = 10000 + 2 \cdot 100 \cdot 0,3 + 0,3^2 = 10000 + 60 + 0,09 = 10060,09$.

Получаем неравенство: $10040,04 < n < 10060,09$.

В этом интервале есть натуральные числа (от $10041$ до $10060$). В качестве примера возьмем $n = 10041$.

Ответ: $10041$.

е) 10,02 и 10,03

Ищем натуральное число $n$, такое что $10,02 < \sqrt{n} < 10,03$.

Возводим в квадрат: $10,02^2 < n < 10,03^2$.

Вычисляем значения границ:

$10,02^2 = (10 + 0,02)^2 = 100 + 2 \cdot 10 \cdot 0,02 + 0,02^2 = 100 + 0,4 + 0,0004 = 100,4004$.

$10,03^2 = (10 + 0,03)^2 = 100 + 2 \cdot 10 \cdot 0,03 + 0,03^2 = 100 + 0,6 + 0,0009 = 100,6009$.

Получаем неравенство: $100,4004 < n < 100,6009$.

В интервале $(100,4004; 100,6009)$ нет ни одного натурального (целого) числа. Следовательно, найти такое число $n$ невозможно.

Ответ: Такого натурального числа не существует.