Номер 909, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

909. a) $(2ab^2c^3)^3;$

в) $(-(-a^2b^{-1})^{-1})^3;$

б) $(3a^4x^5)^2;$

г) $(2(-x^2y^3)^{-1})^{-2}.$

а) Для того чтобы возвести одночлен в степень, необходимо возвести в эту степень каждый его множитель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$(2ab^2c^3)^3 = 2^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^3)^3 = 8 \cdot a^3 \cdot b^{2 \cdot 3} \cdot c^{3 \cdot 3} = 8a^3b^6c^9$.
Ответ: $8a^3b^6c^9$.

б) Решаем аналогично предыдущему примеру, используя правило возведения произведения в степень и правило возведения степени в степень.
$(3a^4x^5)^2 = 3^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (x^5)^2 = 9 \cdot a^{4 \cdot 2} \cdot x^{5 \cdot 2} = 9a^8x^{10}$.
Ответ: $9a^8x^{10}$.

в) Упростим выражение последовательно, начиная с самых внутренних скобок. Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
Сначала упростим выражение внутри самых внешних скобок: $-(-a^2b^{-1})^{-1}$.
Выражение $(-a^2b^{-1})^{-1}$ равно $-(a^2)^{-1}(b^{-1})^{-1} = -a^{-2}b$.
Подставим обратно: $-(-a^{-2}b) = a^{-2}b$.
Теперь возведем результат в куб: $(a^{-2}b)^3 = (a^{-2})^3 \cdot b^3 = a^{-6}b^3 = \frac{b^3}{a^6}$.
Ответ: $\frac{b^3}{a^6}$.

г) Упростим выражение пошагово, начиная с внутренних скобок.
Сначала рассмотрим выражение $(-x^2y^3)^{-1}$. Применяя свойство отрицательной степени, получаем:
$(-x^2y^3)^{-1} = \frac{1}{-x^2y^3} = -\frac{1}{x^2y^3}$.
Теперь подставим это в исходное выражение: $(2 \cdot (-\frac{1}{x^2y^3}))^{-2} = (-\frac{2}{x^2y^3})^{-2}$.
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и изменить знак степени на положительный:
$(-\frac{2}{x^2y^3})^{-2} = (-\frac{x^2y^3}{2})^2 = \frac{(-1)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2}{2^2} = \frac{1 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{3 \cdot 2}}{4} = \frac{x^4y^6}{4}$.
Ответ: $\frac{x^4y^6}{4}$.