Номер 912, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

912. a) $(x - 1)(x + 1)$;

в) $(3x - 2)(3x + 2)$;

д) $(x - 4)^2$;

ж) $(x - 2)^3$;

и) $x^3 + (x - 1)^3$;

б) $(x + 3)(x - 3)$;

г) $(2x + 3)(2x - 3)$;

е) $(2x + 1)^2$;

з) $(x + 3)^3$;

к) $x^3 - (x + 1)^3$.

а)

Для решения этого примера используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 1$.

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Ответ: $x^2 - 1$.

б)

Здесь также применяется формула разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. В этом выражении $a = x$ и $b = 3$.

$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Ответ: $x^2 - 9$.

в)

Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 3x$ и $b = 2$.

$(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Ответ: $9x^2 - 4$.

г)

Используем формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = 2x$ и $b = 3$.

$(2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$.

Ответ: $4x^2 - 9$.

д)

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой "квадрат разности": $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = x$ и $b = 4$.

$(x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.

Ответ: $x^2 - 8x + 16$.

е)

Применим формулу "квадрат суммы": $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 2x$ и $b = 1$.

$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

Ответ: $4x^2 + 4x + 1$.

ж)

Используем формулу "куб разности": $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В данном примере $a = x$ и $b = 2$.

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Ответ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

з)

Применим формулу "куб суммы": $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Здесь $a = x$ и $b = 3$.

$(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

Ответ: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

и)

Сначала раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, где $a = x$ и $b = 1$.

$(x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

Теперь подставим это выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x^3 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

Ответ: $2x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

к)

Сначала раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, где $a = x$ и $b = 1$.

$(x + 1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

Теперь подставим это выражение в исходное. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:

$x^3 - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = x^3 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 - 3x - 1$.

Ответ: $-3x^2 - 3x - 1$.