Номер 918, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

918. Представьте многочлен в виде произведения линейных множителей:

а) $x^3 - 6x$;
б) $x - 5x^3$;
в) $3x^2 - 25$;
г) $x^3 - 2$;
д) $2x^2 + 8x - 7$;
е) $3x^2 - 5x + 2$;
ж) $3x^2 - 6x + 12$;
з) $8x^3 + 54x + 36x^2 + 27$.

а) $x^3 - 6x$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^3 - 6x = x(x^2 - 6)$.
Выражение в скобках $x^2 - 6$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=\sqrt{6}$.
$x^2 - 6 = x^2 - (\sqrt{6})^2 = (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.
Таким образом, окончательное разложение на линейные множители выглядит так:
$x(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.
Ответ: $x(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.

б) $x - 5x^3$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x - 5x^3 = x(1 - 5x^2)$.
Выражение в скобках $1 - 5x^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=1$ и $b=\sqrt{5}x$.
$1 - 5x^2 = 1^2 - (\sqrt{5}x)^2 = (1 - \sqrt{5}x)(1 + \sqrt{5}x)$.
В итоге получаем произведение линейных множителей:
$x(1 - \sqrt{5}x)(1 + \sqrt{5}x)$.
Ответ: $x(1 - \sqrt{5}x)(1 + \sqrt{5}x)$.

в) $3x^2 - 25$

Данный многочлен является разностью квадратов. Представим его в виде $a^2 - b^2$ и воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$3x^2 - 25 = (\sqrt{3}x)^2 - 5^2$.
Здесь $a=\sqrt{3}x$ и $b=5$.
$(\sqrt{3}x - 5)(\sqrt{3}x + 5)$.
Ответ: $(\sqrt{3}x - 5)(\sqrt{3}x + 5)$.

г) $x^3 - 2$

Этот многочлен представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
В нашем случае $a=x$ и $b=\sqrt[3]{2}$.
$x^3 - 2 = x^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = (x - \sqrt[3]{2})(x^2 + x\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2) = (x - \sqrt[3]{2})(x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4})$.
Мы получили один линейный множитель $(x - \sqrt[3]{2})$ и один квадратичный $(x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4})$. Чтобы разложить квадратичный множитель на линейные, нужно найти его корни. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4}$:
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt[3]{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4} - 4\sqrt[3]{4} = -3\sqrt[3]{4}$.
Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней, и он нераскладываем на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, в поле действительных чисел представить многочлен $x^3-2$ в виде произведения только линейных множителей невозможно.
Ответ: В поле действительных чисел многочлен не разлагается на произведение только линейных множителей. Его разложение имеет вид $(x - \sqrt[3]{2})(x^2 + \sqrt[3]{2}x + \sqrt[3]{4})$.

д) $2x^2 + 8x - 7$

Для разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ на множители вида $a(x-x_1)(x-x_2)$, найдем его корни с помощью дискриминанта.
$a=2, b=8, c=-7$.
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 64 + 56 = 120$.
Корни уравнения $2x^2 + 8x - 7 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{120}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 30}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{30}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{30}}{2}$.
Итак, корни $x_1 = \frac{-4 + \sqrt{30}}{2}$ и $x_2 = \frac{-4 - \sqrt{30}}{2}$.
Подставляем корни в формулу разложения:
$2\left(x - \frac{-4 + \sqrt{30}}{2}\right)\left(x - \frac{-4 - \sqrt{30}}{2}\right)$.
Ответ: $2\left(x - \frac{-4 + \sqrt{30}}{2}\right)\left(x - \frac{-4 - \sqrt{30}}{2}\right)$.

е) $3x^2 - 5x + 2$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 2$ для его разложения на множители.
$a=3, b=-5, c=2$.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
$x_1 = \frac{5+1}{6} = 1$, $x_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$3(x-1)(x - \frac{2}{3})$.
Для удобства можно внести множитель 3 во вторую скобку:
$(x-1) \cdot 3(x - \frac{2}{3}) = (x-1)(3x-2)$.
Ответ: $(x-1)(3x-2)$.

ж) $3x^2 - 6x + 12$

Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3x^2 - 6x + 12 = 3(x^2 - 2x + 4)$.
Теперь рассмотрим квадратный трехчлен в скобках $x^2 - 2x + 4$. Найдем его дискриминант, чтобы проверить, можно ли его разложить на линейные множители.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного трехчлена нет действительных корней. Следовательно, его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами. Это означает, что исходный многочлен нельзя представить в виде произведения только линейных множителей в поле действительных чисел.
Ответ: В поле действительных чисел многочлен не разлагается на произведение только линейных множителей. Его разложение имеет вид $3(x^2 - 2x + 4)$.

з) $8x^3 + 54x + 36x^2 + 27$

Переставим члены многочлена в порядке убывания степеней $x$:
$8x^3 + 36x^2 + 54x + 27$.
Этот многочлен похож на формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Проверим, подходит ли она. Пусть $a^3 = 8x^3$, тогда $a=2x$. Пусть $b^3 = 27$, тогда $b=3$.
Проверим средние члены:
$3a^2b = 3(2x)^2(3) = 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 = 36x^2$. Совпадает.
$3ab^2 = 3(2x)(3^2) = 3 \cdot 2x \cdot 9 = 54x$. Совпадает.
Следовательно, многочлен является полным кубом суммы:
$8x^3 + 36x^2 + 54x + 27 = (2x+3)^3$.
Это произведение трех одинаковых линейных множителей.
Ответ: $(2x+3)^3$.