Номер 920, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

920. Разложите многочлен на множители:

а) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3$;

б) $x^4 + x^2 + 1$;

в) $x^8 + x^4 + 1$.

а) $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3$

Для решения этой задачи воспользуемся тождеством для суммы кубов. Сначала введем замену переменных, чтобы упростить выражение.

Пусть $X = a - b$, $Y = b - c$, $Z = c - a$.

Теперь найдем сумму этих переменных:

$X + Y + Z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = a - b + b - c + c - a = 0$

Существует известное тождество: если сумма трех чисел равна нулю ($X + Y + Z = 0$), то сумма их кубов равна их утроенному произведению ($X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$).

Поскольку в нашем случае $X + Y + Z = 0$, мы можем применить это тождество.

Подставим обратно исходные выражения для $X$, $Y$ и $Z$:

$(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)$

Таким образом, мы разложили многочлен на множители.

Ответ: $3(a - b)(b - c)(c - a)$.

б) $x^4 + x^2 + 1$

Для разложения этого многочлена на множители применим метод выделения полного квадрата. Идея состоит в том, чтобы добавить и отнять одно и то же слагаемое, чтобы получить формулу разности квадратов.

Чтобы выражение $x^4 + 1$ стало частью полного квадрата $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$, нам не хватает $x^2$. Добавим и вычтем $x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

Мы получили выражение вида $A^2 - B^2$, где $A = x^2 + 1$ и $B = x$. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(x^2 + 1)^2 - x^2 = ((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$

Запишем многочлены в стандартном виде, упорядочив слагаемые по убыванию степеней $x$:

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

в) $x^8 + x^4 + 1$

Этот многочлен можно разложить на множители, используя тот же метод, что и в предыдущем пункте — выделение полного квадрата.

Добавим и вычтем $x^4$, чтобы получить полный квадрат для $x^8 + 1$:

$x^8 + x^4 + 1 = x^8 + 2x^4 + 1 - x^4$

Сгруппируем первые три члена и представим выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $x^4 = (x^2)^2$.

$(x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x^4 + 1$ и $B = x^2$:

$(x^4 + 1)^2 - (x^2)^2 = (x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)$

Теперь мы имеем произведение двух многочленов. Второй множитель, $x^4 + x^2 + 1$, — это выражение из пункта б), которое мы уже разложили:

$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Первый множитель, $x^4 - x^2 + 1$, не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена на множители имеет вид:

$(x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.