Номер 917, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

917. Запишите многочлен, корнями которого являются числа:

а) 1; 2; 3; 4;

б) -2; -1; 0; 6.

а)

Чтобы записать многочлен, зная его корни, можно использовать его разложение на линейные множители. Если числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ являются корнями многочлена $P(x)$, то этот многочлен можно представить в виде $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$, где $a$ — любой ненулевой коэффициент. Для простоты выберем $a=1$.

Заданные корни: $1; 2; 3; 4$.

Составляем многочлен $P(x)$ как произведение множителей: $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$.

Теперь необходимо раскрыть скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде. Сгруппируем и перемножим множители попарно:

$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

$(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$

Теперь перемножим полученные квадратные трехчлены:

$P(x) = (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = $
$= x^2(x^2 - 7x + 12) - 3x(x^2 - 7x + 12) + 2(x^2 - 7x + 12) = $
$= (x^4 - 7x^3 + 12x^2) - (3x^3 - 21x^2 + 36x) + (2x^2 - 14x + 24) = $
$= x^4 - 7x^3 + 12x^2 - 3x^3 + 21x^2 - 36x + 2x^2 - 14x + 24$

Приведем подобные члены:

$P(x) = x^4 + (-7 - 3)x^3 + (12 + 21 + 2)x^2 + (-36 - 14)x + 24 = $
$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

Ответ: $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

б)

Заданные корни: $-2; -1; 0; 6$.

Аналогично предыдущему пункту, составим многочлен $P(x)$, взяв $a=1$: $P(x) = (x - (-2))(x - (-1))(x - 0)(x - 6) = (x + 2)(x + 1)x(x - 6)$.

Раскроем скобки. Удобно сначала перемножить выражения в скобках, а затем умножить все на $x$:

$(x + 2)(x + 1) = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$

Теперь умножим полученный результат на $(x - 6)$:

$(x^2 + 3x + 2)(x - 6) = x(x^2 + 3x + 2) - 6(x^2 + 3x + 2) = $
$= (x^3 + 3x^2 + 2x) - (6x^2 + 18x + 12) = $
$= x^3 + 3x^2 + 2x - 6x^2 - 18x - 12$

Приведем подобные члены:

$= x^3 + (3 - 6)x^2 + (2 - 18)x - 12 = x^3 - 3x^2 - 16x - 12$

Наконец, умножим все на оставшийся множитель $x$:

$P(x) = x(x^3 - 3x^2 - 16x - 12) = x^4 - 3x^3 - 16x^2 - 12x$

Ответ: $x^4 - 3x^3 - 16x^2 - 12x$