Номер 921, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

921. Многочлен $x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n$ является квадратом другого многочлена. Найдите числа $m$ и $n$.

По условию, многочлен $x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n$ является квадратом другого многочлена. Так как степень исходного многочлена равна 4, то многочлен, квадратом которого он является, должен иметь степень 2. Представим этот многочлен в общем виде $ax^2 + bx + c$.

Тогда должно выполняться тождество:

$x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n = (ax^2 + bx + c)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых $(A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$:

$(ax^2 + bx + c)^2 = (ax^2)^2 + (bx)^2 + c^2 + 2(ax^2)(bx) + 2(ax^2)(c) + 2(bx)(c)$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$a^2x^4 + b^2x^2 + c^2 + 2abx^3 + 2acx^2 + 2bcx = a^2x^4 + (2ab)x^3 + (b^2 + 2ac)x^2 + (2bc)x + c^2$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях исходного тождества:

$x^4 + 2x^3 + mx^2 + 2x + n = a^2x^4 + (2ab)x^3 + (b^2 + 2ac)x^2 + (2bc)x + c^2$

Получим систему уравнений:

1. Коэффициент при $x^4$: $a^2 = 1$
2. Коэффициент при $x^3$: $2ab = 2$
3. Коэффициент при $x^2$: $b^2 + 2ac = m$
4. Коэффициент при $x$: $2bc = 2$
5. Свободный член: $c^2 = n$

Решим эту систему. Из первого уравнения $a^2 = 1$ следует, что $a = 1$ или $a = -1$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a = 1$

Подставим $a = 1$ во второе уравнение: $2 \cdot 1 \cdot b = 2$, откуда $b = 1$.
Подставим $b = 1$ в четвертое уравнение: $2 \cdot 1 \cdot c = 2$, откуда $c = 1$.
Теперь найдем $m$ и $n$, подставив найденные значения $a, b, c$ в третье и пятое уравнения:
$m = b^2 + 2ac = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$.
$n = c^2 = 1^2 = 1$.

Случай 2: $a = -1$

Подставим $a = -1$ во второе уравнение: $2 \cdot (-1) \cdot b = 2$, откуда $-2b = 2$, то есть $b = -1$.
Подставим $b = -1$ в четвертое уравнение: $2 \cdot (-1) \cdot c = 2$, откуда $-2c = 2$, то есть $c = -1$.
Теперь найдем $m$ и $n$ для этого случая:
$m = b^2 + 2ac = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$.
$n = c^2 = (-1)^2 = 1$.

В обоих случаях мы получили одинаковые значения для $m$ и $n$. Это ожидаемо, так как $(ax^2+bx+c)^2 = (-(ax^2+bx+c))^2 = (-ax^2-bx-c)^2$.

Таким образом, искомые числа: $m=3$ и $n=1$. Исходный многочлен равен $(x^2+x+1)^2$.

Ответ: $m = 3, n = 1$.