Номер 928, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

928. a) $(\frac{4(a - 2)}{a^2 - a - 6} + \frac{a - 3}{4 - a^2}) \cdot (\frac{a^2 - 4}{a - 1} - \frac{2}{a - 3})$

б) $(\frac{3}{y - 2} + \frac{3y + 12}{25 - y^2}) : (\frac{2y - 1}{y^2 - 25} - \frac{y - 5}{2y^2 + 9y - 5})$

в) $(\frac{a}{a^2 - 4} - \frac{8}{a^2 + 2a}) \cdot (\frac{a^2 - 2a}{4 - a} + \frac{a + 8}{a + 2})$

г) $(\frac{1}{a^2 - 4a} + \frac{a + 3}{a^2 - 16}) \cdot (\frac{4a - a^2}{a + 2} + \frac{a + 8}{a + 4})$

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

д) $(\frac{a + 3b}{(a - b)^2} + \frac{a - 3b}{a^2 - b^2}) : \frac{a^2 + 3b^2}{(a - b)^2}$

е) $(\frac{a + 2b}{(a + b)^2} - \frac{a - 4b}{a^2 - b^2}) : \frac{b^2 + 2ab}{(a + b)^2}$

а) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $a^2-a-6 = (a-3)(a+2)$; $4-a^2 = -(a^2-4) = -(a-2)(a+2)$.
$\frac{4(a-2)}{a^2 - a - 6} + \frac{a-3}{4-a^2} = \frac{4(a-2)}{(a-3)(a+2)} - \frac{a-3}{(a-2)(a+2)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-3)(a+2)(a-2)$:
$\frac{4(a-2)(a-2) - (a-3)(a-3)}{(a-3)(a+2)(a-2)} = \frac{4(a-2)^2 - (a-3)^2}{(a-3)(a+2)(a-2)}$
Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности:
$\frac{4(a^2-4a+4) - (a^2-6a+9)}{(a-3)(a+2)(a-2)} = \frac{4a^2-16a+16 - a^2+6a-9}{(a-3)(a+2)(a-2)} = \frac{3a^2-10a+7}{(a-3)(a+2)(a-2)}$
Разложим числитель $3a^2-10a+7$ на множители. Корни уравнения $3a^2-10a+7=0$ равны $a_1=1$ и $a_2=\frac{7}{3}$, поэтому $3a^2-10a+7 = 3(a-1)(a-\frac{7}{3}) = (a-1)(3a-7)$.
Получаем: $\frac{(a-1)(3a-7)}{(a-3)(a+2)(a-2)}$.
2. Выполним умножение. Учтем, что $a^2-4=(a-2)(a+2)$.
$(\frac{(a-1)(3a-7)}{(a-3)(a+2)(a-2)}) \cdot \frac{a^2-4}{a-1} = \frac{(a-1)(3a-7)}{(a-3)(a+2)(a-2)} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{a-1}$
Сокращаем дроби и получаем: $\frac{3a-7}{a-3}$.
3. Выполним вычитание.
$\frac{3a-7}{a-3} - \frac{2}{a-3} = \frac{3a-7-2}{a-3} = \frac{3a-9}{a-3} = \frac{3(a-3)}{a-3} = 3$.

Ответ: $3$.

б) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в первых скобках. Разложим знаменатель $25-y^2 = -(y^2-25) = -(y-5)(y+5)$.
$\frac{3}{y-2} + \frac{3y+12}{25-y^2} = \frac{3}{y-2} - \frac{3(y+4)}{(y-5)(y+5)}$
Приведем к общему знаменателю $(y-2)(y-5)(y+5)$:
$\frac{3(y-5)(y+5) - 3(y+4)(y-2)}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{3(y^2-25) - 3(y^2+2y-8)}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{3y^2-75 - 3y^2-6y+24}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{-6y-51}{(y-2)(y-5)(y+5)} = \frac{-3(2y+17)}{(y-2)(y-5)(y+5)}$.
2. Преобразуем выражение во вторых скобках. Разложим знаменатели: $y^2-25 = (y-5)(y+5)$; $2y^2+9y-5 = (2y-1)(y+5)$.
$\frac{2y-1}{y^2-25} - \frac{y-5}{2y^2+9y-5} = \frac{2y-1}{(y-5)(y+5)} - \frac{y-5}{(2y-1)(y+5)}$
Приведем к общему знаменателю $(y-5)(y+5)(2y-1)$:
$\frac{(2y-1)^2 - (y-5)^2}{(y-5)(y+5)(2y-1)}$
В числителе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{((2y-1)-(y-5))((2y-1)+(y-5))}{(y-5)(y+5)(2y-1)} = \frac{(y+4)(3y-6)}{(y-5)(y+5)(2y-1)} = \frac{3(y+4)(y-2)}{(y-5)(y+5)(2y-1)}$.
3. Выполним деление:
$\frac{-3(2y+17)}{(y-2)(y-5)(y+5)} : \frac{3(y+4)(y-2)}{(y-5)(y+5)(2y-1)} = \frac{-3(2y+17)}{(y-2)(y-5)(y+5)} \cdot \frac{(y-5)(y+5)(2y-1)}{3(y+4)(y-2)}$
Сокращаем дроби: $\frac{-(2y+17)(2y-1)}{(y-2)^2(y+4)}$.

Ответ: $\frac{-(2y+17)(2y-1)}{(y-2)^2(y+4)}$.

в) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$; $a^2+2a = a(a+2)$.
$\frac{a}{a^2-4} - \frac{8}{a^2+2a} = \frac{a}{(a-2)(a+2)} - \frac{8}{a(a+2)}$
Приведем к общему знаменателю $a(a-2)(a+2)$:
$\frac{a \cdot a - 8(a-2)}{a(a-2)(a+2)} = \frac{a^2-8a+16}{a(a-2)(a+2)} = \frac{(a-4)^2}{a(a-2)(a+2)}$.
2. Выполним умножение. Преобразуем множители: $a^2-2a = a(a-2)$; $4-a = -(a-4)$.
$\frac{(a-4)^2}{a(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a^2-2a}{4-a} = \frac{(a-4)^2}{a(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a(a-2)}{-(a-4)}$
Сокращаем дроби: $\frac{a-4}{a+2} \cdot (-1) = \frac{-(a-4)}{a+2} = \frac{4-a}{a+2}$.
3. Выполним сложение.
$\frac{4-a}{a+2} + \frac{a+8}{a+2} = \frac{4-a+a+8}{a+2} = \frac{12}{a+2}$.

Ответ: $\frac{12}{a+2}$.

г) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели: $a^2-4a = a(a-4)$; $a^2-16 = (a-4)(a+4)$.
$\frac{1}{a^2-4a} + \frac{a+3}{a^2-16} = \frac{1}{a(a-4)} + \frac{a+3}{(a-4)(a+4)}$
Приведем к общему знаменателю $a(a-4)(a+4)$:
$\frac{1(a+4) + a(a+3)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{a+4+a^2+3a}{a(a-4)(a+4)} = \frac{a^2+4a+4}{a(a-4)(a+4)} = \frac{(a+2)^2}{a(a-4)(a+4)}$.
2. Выполним умножение. Преобразуем множитель $4a-a^2 = -a(a-4)$.
$\frac{(a+2)^2}{a(a-4)(a+4)} \cdot \frac{4a-a^2}{a+2} = \frac{(a+2)^2}{a(a-4)(a+4)} \cdot \frac{-a(a-4)}{a+2}$
Сокращаем дроби: $\frac{a+2}{a+4} \cdot (-1) = \frac{-(a+2)}{a+4} = \frac{-a-2}{a+4}$.
3. Выполним сложение.
$\frac{-a-2}{a+4} + \frac{a+8}{a+4} = \frac{-a-2+a+8}{a+4} = \frac{6}{a+4}$.

Ответ: $\frac{6}{a+4}$.

д) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a+3b}{(a-b)^2} + \frac{a-3b}{a^2-b^2} = \frac{a+3b}{(a-b)^2} + \frac{a-3b}{(a-b)(a+b)}$
Приведем к общему знаменателю $(a-b)^2(a+b)$:
$\frac{(a+3b)(a+b) + (a-3b)(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{(a^2+4ab+3b^2) + (a^2-4ab+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{2a^2+6b^2}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{2(a^2+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)}$.
2. Выполним деление.
$\frac{2(a^2+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)} : \frac{a^2+3b^2}{(a-b)^2} = \frac{2(a^2+3b^2)}{(a-b)^2(a+b)} \cdot \frac{(a-b)^2}{a^2+3b^2}$
Сокращаем дроби: $\frac{2}{a+b}$.

Ответ: $\frac{2}{a+b}$.

е) Выполним действия по порядку.
1. Преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{a+2b}{(a+b)^2} - \frac{a-4b}{a^2-b^2} = \frac{a+2b}{(a+b)^2} - \frac{a-4b}{(a-b)(a+b)}$
Приведем к общему знаменателю $(a+b)^2(a-b)$:
$\frac{(a+2b)(a-b) - (a-4b)(a+b)}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{(a^2+ab-2b^2) - (a^2-3ab-4b^2)}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{a^2+ab-2b^2 - a^2+3ab+4b^2}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{4ab+2b^2}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{2b(2a+b)}{(a+b)^2(a-b)}$.
2. Преобразуем делитель: $\frac{b^2+2ab}{(a+b)^2} = \frac{b(b+2a)}{(a+b)^2}$.
3. Выполним деление.
$\frac{2b(2a+b)}{(a+b)^2(a-b)} : \frac{b(2a+b)}{(a+b)^2} = \frac{2b(2a+b)}{(a+b)^2(a-b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{b(2a+b)}$
Сокращаем дроби: $\frac{2}{a-b}$.

Ответ: $\frac{2}{a-b}$.