Номер 932, страница 267 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

932. a) $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)}$

б) $\frac{1}{1-x} + \frac{1}{x+1} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4} + \frac{8}{1+x^8} + \frac{16}{1+x^{16}}$

а) Данное выражение представляет собой сумму дробей. Заметим, что каждую дробь вида $\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$ можно разложить на разность двух более простых дробей (этот метод известен как разложение на простейшие дроби):

$\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{x+n+1}{(x+n)(x+n+1)} - \frac{x+n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1}$

Применим это правило для каждого слагаемого в исходной сумме:

$\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)} =$

$= \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) + \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right) + \left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+5}\right)$

Это телескопическая сумма. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{x+1}$ и $+\frac{1}{x+1}$, $-\frac{1}{x+2}$ и $+\frac{1}{x+2}$, и так далее. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+5}$

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} = \frac{1 \cdot (x+5) - 1 \cdot x}{x(x+5)} = \frac{x+5-x}{x(x+5)} = \frac{5}{x(x+5)}$

Ответ: $\frac{5}{x(x+5)}$

б) Для упрощения этого выражения будем последовательно складывать слагаемые, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Сложим первые два слагаемых:

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x) + 1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$

Теперь к результату прибавим третье слагаемое:

$\frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2} = \frac{2(1+x^2) + 2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{2+2x^2+2-2x^2}{1-(x^2)^2} = \frac{4}{1-x^4}$

Прибавим четвертое слагаемое:

$\frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{4(1+x^4) + 4(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} = \frac{4+4x^4+4-4x^4}{1-(x^4)^2} = \frac{8}{1-x^8}$

Прибавим пятое слагаемое:

$\frac{8}{1-x^8} + \frac{8}{1+x^8} = \frac{8(1+x^8) + 8(1-x^8)}{(1-x^8)(1+x^8)} = \frac{8+8x^8+8-8x^8}{1-(x^8)^2} = \frac{16}{1-x^{16}}$

И наконец, прибавим последнее, шестое слагаемое:

$\frac{16}{1-x^{16}} + \frac{16}{1+x^{16}} = \frac{16(1+x^{16}) + 16(1-x^{16})}{(1-x^{16})(1+x^{16})} = \frac{16+16x^{16}+16-16x^{16}}{1-(x^{16})^2} = \frac{32}{1-x^{32}}$

Ответ: $\frac{32}{1-x^{32}}$