Номер 939, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

939. Докажите, что выражения:

a) $\frac{(x - 3)^3}{2} - \frac{(x + 3)^3}{2}$ и $\frac{9(x^2 + 3)}{4}$;

б) $\left(\frac{x - 3}{3}\right)^3 + \left(\frac{x + 3}{3}\right)^3$ и $\frac{x(x^2 + 27)}{27}

не являются тождественно равными на множестве всех действительных чисел.

а)

Чтобы доказать, что два выражения не являются тождественно равными, нужно показать, что их равенство не выполняется для всех действительных чисел x. Это можно сделать, упростив выражения и сравнив их, или найдя конкретное значение x, при котором значения выражений различны.

Рассмотрим первое выражение: $E_1 = \frac{(x-3)^3}{2} - \frac{(x+3)^3}{2}$.

Упростим его, вынеся общий множитель $\frac{1}{2}$ и раскрыв кубы биномов, используя формулы $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$E_1 = \frac{1}{2} \left( (x-3)^3 - (x+3)^3 \right)$

$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Подставим раскрытые скобки обратно в выражение для $E_1$:

$E_1 = \frac{1}{2} \left( (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) - (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) \right)$

$E_1 = \frac{1}{2} (x^3 - 9x^2 + 27x - 27 - x^3 - 9x^2 - 27x - 27)$

После приведения подобных слагаемых в скобках получаем:

$E_1 = \frac{1}{2} (-18x^2 - 54) = -9x^2 - 27$

Теперь рассмотрим второе выражение: $E_2 = \frac{9(x^2+3)}{4}$.

Упростим его: $E_2 = \frac{9x^2+27}{4} = \frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{4}$.

Мы получили два разных выражения: $E_1 = -9x^2 - 27$ и $E_2 = \frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{4}$.

Чтобы убедиться, что они не равны, подставим любое значение, например, $x=0$:

$E_1(0) = -9(0)^2 - 27 = -27$

$E_2(0) = \frac{9(0^2+3)}{4} = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4}$

Так как $-27 \neq \frac{27}{4}$, исходные выражения не являются тождественно равными.

Ответ: Выражения не являются тождественно равными. Упрощение первого выражения дает $-9x^2 - 27$, а второго — $\frac{9}{4}x^2 + \frac{27}{4}$. Эти многочлены не равны, что подтверждается, например, при $x=0$, когда их значения равны $-27$ и $\frac{27}{4}$ соответственно.

б)

Рассмотрим пару выражений: $E_3 = \left(\frac{x-3}{3}\right)^3 + \left(\frac{x+3}{3}\right)^3$ и $E_4 = \frac{x(x^2+27)}{27}$.

Упростим первое выражение $E_3$:

$E_3 = \frac{(x-3)^3}{3^3} + \frac{(x+3)^3}{3^3} = \frac{(x-3)^3 + (x+3)^3}{27}$

Для упрощения числителя воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x-3$ и $b=x+3$:

$a+b = (x-3) + (x+3) = 2x$

Можно также раскрыть кубы и сложить:

$(x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

$(x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x-3)^3 + (x+3)^3 = (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) + (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) = 2x^3 + 54x = 2x(x^2+27)$

Подставляем результат в выражение для $E_3$:

$E_3 = \frac{2x(x^2+27)}{27}$

Теперь сравним упрощенное первое выражение $E_3$ со вторым выражением $E_4 = \frac{x(x^2+27)}{27}$.

Приравняем их, чтобы найти, при каких значениях x они равны:

$\frac{2x(x^2+27)}{27} = \frac{x(x^2+27)}{27}$

$2x(x^2+27) = x(x^2+27)$

$2x(x^2+27) - x(x^2+27) = 0$

$x(x^2+27) = 0$

Так как $x^2+27$ никогда не равно нулю для действительных x, равенство выполняется только при $x=0$.

Поскольку равенство выполняется не для всех действительных чисел, а только для одного, выражения не являются тождественно равными. Например, при $x=1$:

$E_3(1) = \frac{2(1)(1^2+27)}{27} = \frac{56}{27}$

$E_4(1) = \frac{1(1^2+27)}{27} = \frac{28}{27}$

Так как $\frac{56}{27} \neq \frac{28}{27}$, выражения не являются тождественно равными.

Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как их равенство выполняется только при $x=0$, а для всех $x \neq 0$ их значения не совпадают.