Номер 941, страница 268 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

941. Упростите выражение:

а) $\sqrt{a^2}$; б) $\sqrt[4]{a^2}$; в) $\sqrt[4]{a^4}$; г) $\sqrt[4]{a^{12}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{a^2}$ используется основное свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Это связано с тем, что результат извлечения квадратного корня (арифметического) не может быть отрицательным, а выражение $a^2$ всегда неотрицательно.
Формула выглядит так: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Применяя эту формулу к нашему случаю, получаем: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Ответ: $|a|$

б) Выражение $\sqrt[4]{a^2}$ можно упростить, используя свойство степеней с дробными показателями или свойство вложенных корней.
Первый способ: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. Тогда $\sqrt[4]{a^2} = (a^2)^{\frac{1}{4}} = a^{2 \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. Однако эта запись верна только для $a \ge 0$. Чтобы учесть все действительные значения $a$, необходимо действовать иначе, так как $\sqrt[4]{a^2}$ определено для всех $a$.
Второй способ (более общий): представим корень 4-й степени как корень квадратный из корня квадратного: $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$.
Тогда $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{\sqrt{a^2}}$.
Как мы знаем из пункта а), $\sqrt{a^2} = |a|$.
Подставляя это в наше выражение, получаем: $\sqrt{|a|}$. Это выражение определено для всех действительных $a$, так как $|a| \ge 0$.
Ответ: $\sqrt{|a|}$

в) Выражение $\sqrt[4]{a^4}$ упрощается по аналогии с пунктом а). Для любого корня четной степени $2n$ справедливо тождество: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
В данном случае у нас корень 4-й степени (четной) из выражения в 4-й степени.
Следовательно, $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.
Это гарантирует, что результат извлечения корня будет неотрицательным, как и требуется по определению арифметического корня.
Ответ: $|a|$

г) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{a^{12}}$ представим подкоренное выражение $a^{12}$ как степень с показателем 4.
Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, можно записать: $a^{12} = a^{3 \cdot 4} = (a^3)^4$.
Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt[4]{(a^3)^4}$.
Теперь мы можем применить правило из пункта в), где в качестве основы степени выступает выражение $a^3$: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
В нашем случае $x = a^3$, поэтому: $\sqrt[4]{(a^3)^4} = |a^3|$.
Выражение $|a^3|$ всегда неотрицательно, что соответствует требованию для результата корня четной степени.
Ответ: $|a^3|$