Номер 947, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

947. Сократите дробь:

а) $ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{\sqrt{35}-\sqrt{14}} $;

б) $ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}} $;

в) $ \frac{\sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}}{\sqrt[3]{ax}-\sqrt[3]{ay}} $;

г) $ \frac{n\sqrt[3]{m}-m\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{m^2}+\sqrt[3]{n^2}+2\sqrt[3]{mn}} $.

а) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{\sqrt{35} - \sqrt{14}}$ необходимо разложить подкоренные выражения на множители, чтобы найти общие множители в числителе и знаменателе.
Преобразуем числитель: $\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{35} - \sqrt{14} = \sqrt{7 \cdot 5} - \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7}\sqrt{5} - \sqrt{7}\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки: $\sqrt{7}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{7}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ и получаем результат.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{8} + \sqrt{12}}$. Разложим подкоренные выражения на множители и упростим.
Преобразуем числитель: $\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt{8} + \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$. Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

в) Сократим дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2y} - \sqrt[3]{xy^2}}{\sqrt[3]{ax} - \sqrt[3]{ay}}$. Для этого вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
Числитель: $\sqrt[3]{x^2y} - \sqrt[3]{xy^2} = \sqrt[3]{xy \cdot x} - \sqrt[3]{xy \cdot y} = \sqrt[3]{xy}\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{xy}\sqrt[3]{y}$. Вынесем за скобки $\sqrt[3]{xy}$: $\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$.
Знаменатель: $\sqrt[3]{ax} - \sqrt[3]{ay} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{y}$. Вынесем за скобки $\sqrt[3]{a}$: $\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$.
Дробь принимает вид: $\frac{\sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})}$.
Сократив на $(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y})$, получаем $\frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{a}}$, что можно записать как $\sqrt[3]{\frac{xy}{a}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{xy}{a}}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{n\sqrt[3]{m} - m\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{m^2} + \sqrt[3]{n^2} + 2\sqrt[3]{mn}}$.
Преобразуем знаменатель. Заметим, что он представляет собой квадрат суммы. Переставим слагаемые для наглядности: $\sqrt[3]{m^2} + 2\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2} = (\sqrt[3]{m})^2 + 2\sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2 = (\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})^2$.
Преобразуем числитель. Представим $m$ и $n$ в виде кубов их кубических корней: $m = (\sqrt[3]{m})^3$, $n = (\sqrt[3]{n})^3$.
Числитель: $n\sqrt[3]{m} - m\sqrt[3]{n} = (\sqrt[3]{n})^3\sqrt[3]{m} - (\sqrt[3]{m})^3\sqrt[3]{n}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n} = \sqrt[3]{mn}$ за скобки: $\sqrt[3]{mn}((\sqrt[3]{n})^2 - (\sqrt[3]{m})^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt[3]{n}$ и $b = \sqrt[3]{m}$. Таким образом, числитель равен $\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{m})(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})$.
Теперь запишем всю дробь: $\frac{\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{m})(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})}{(\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n})^2}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{m})$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{mn}(\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{m})}{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}$.