Номер 953, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

953. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $\frac{\sqrt{a} + 6}{a - 36} - \frac{1}{\sqrt{a} + 6} = \frac{12}{a - 36}$;

б) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 6} - \frac{3}{\sqrt{x} + 6} + \frac{x}{36 - x} = \frac{3}{\sqrt{x} - 6}$.

Для доказательства равенств преобразуем их левые части и покажем, что они равны правым частям.

а) $ \frac{\sqrt{a} + 6}{a - 36} - \frac{1}{\sqrt{a} + 6} = \frac{12}{a - 36} $

Преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений: $ a \ge 0, a \neq 36 $.

Знаменатель первой дроби $ a - 36 $ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $ a - 36 = (\sqrt{a})^2 - 6^2 = (\sqrt{a} - 6)(\sqrt{a} + 6) $.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ a - 36 $:

$ \frac{\sqrt{a} + 6}{a - 36} - \frac{1}{\sqrt{a} + 6} = \frac{\sqrt{a} + 6}{(\sqrt{a} - 6)(\sqrt{a} + 6)} - \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - 6)}{(\sqrt{a} + 6)(\sqrt{a} - 6)} $

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{(\sqrt{a} + 6) - (\sqrt{a} - 6)}{a - 36} = \frac{\sqrt{a} + 6 - \sqrt{a} + 6}{a - 36} = \frac{12}{a - 36} $

В результате преобразования левой части мы получили выражение, стоящее в правой части. Левая часть равна правой, равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.

б) $ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 6} - \frac{3}{\sqrt{x} + 6} + \frac{x}{36 - x} = \frac{3}{\sqrt{x} - 6} $

Преобразуем левую часть равенства. Область допустимых значений: $ x \ge 0, x \neq 36 $.

Заметим, что знаменатель третьей дроби $ 36 - x = -(x - 36) $. Используем это для упрощения выражения:

$ \frac{x}{36 - x} = \frac{x}{-(x - 36)} = -\frac{x}{x - 36} $

Теперь выражение в левой части выглядит так:

$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 6} - \frac{3}{\sqrt{x} + 6} - \frac{x}{x - 36} $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ x - 36 = (\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6) $:

$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)} - \frac{3(\sqrt{x} - 6)}{(\sqrt{x} + 6)(\sqrt{x} - 6)} - \frac{x}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 6) - 3(\sqrt{x} - 6) - x}{x - 36} = \frac{x + 6\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + 18 - x}{x - 36} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(x - x) + (6\sqrt{x} - 3\sqrt{x}) + 18}{x - 36} = \frac{3\sqrt{x} + 18}{x - 36} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$ \frac{3(\sqrt{x} + 6)}{x - 36} = \frac{3(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{x} + 6) $, который не равен нулю в области допустимых значений:

$ \frac{3}{\sqrt{x} - 6} $

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Равенство доказано.

Ответ: Равенство справедливо.