Номер 955, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (955—957):

955. а) $\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+1\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right);$

б) $\left(\sqrt{a}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}+1}{1-\sqrt{a}-a};$

в) $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y};$

г) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-7}-\frac{4}{\sqrt{m}+7}+\frac{m}{49-m}.$

а) Сначала выполним действия в скобках, приводя слагаемые к общему знаменателю, а затем выполним деление.

1. Упростим первое выражение в скобках:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} + 1 = \frac{\sqrt{x} + 1 \cdot (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$

2. Упростим второе выражение в скобках:
$1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{x}+1) - \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{x}+1}$

3. Выполним деление полученных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:
$\left(\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right) = \frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{1}$

4. Сократим общие множители $(\sqrt{x}+1)$:
$\frac{2\sqrt{x}+1}{\cancel{\sqrt{x}+1}} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{x}+1}}{1} = 2\sqrt{x}+1$

Ответ: $2\sqrt{x}+1$

б) Упростим выражение в скобках, а затем выполним умножение.

1. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $1+\sqrt{a}$:
$\sqrt{a} - \frac{1}{1+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(1+\sqrt{a}) - 1}{1+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+a-1}{1+\sqrt{a}}$

2. Подставим полученное выражение обратно и выполним умножение:
$\frac{a+\sqrt{a}-1}{1+\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}+1}{1-\sqrt{a}-a}$

3. Сократим общие множители $(1+\sqrt{a})$:
$\frac{a+\sqrt{a}-1}{\cancel{1+\sqrt{a}}} \cdot \frac{\cancel{\sqrt{a}+1}}{1-\sqrt{a}-a} = \frac{a+\sqrt{a}-1}{1-\sqrt{a}-a}$

4. В знаменателе вынесем $-1$ за скобки, чтобы получить выражение, идентичное числителю:
$\frac{a+\sqrt{a}-1}{-( -1+\sqrt{a}+a )} = \frac{a+\sqrt{a}-1}{-(a+\sqrt{a}-1)}$

5. Сократим дробь:
$\frac{\cancel{a+\sqrt{a}-1}}{-(\cancel{a+\sqrt{a}-1})} = -1$

Ответ: $-1$

в) Упростим каждую дробь по отдельности, используя формулы сокращенного умножения, а затем выполним вычитание.

1. Упростим первую дробь. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y}$:
$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$

2. Упростим вторую дробь. В числителе используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y}$. В знаменателе — разность квадратов:
$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y} = \frac{(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

3. Выполним вычитание полученных выражений:
$(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

4. Приведем к общему знаменателю $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$:
$\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 - (x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(x+2\sqrt{xy}+y) - (x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

5. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x+2\sqrt{xy}+y - x - \sqrt{xy} - y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

г) Приведем все дроби к общему знаменателю и выполним действия.

1. Заметим, что знаменатель третьей дроби можно разложить по формуле разности квадратов: $49-m = 7^2-(\sqrt{m})^2 = (7-\sqrt{m})(7+\sqrt{m})$. Вынесем знак минус: $-( \sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)$.
Общий знаменатель для всех трех дробей: $(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7) = m-49$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-7} - \frac{4}{\sqrt{m}+7} + \frac{m}{49-m} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+7)}{(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)} - \frac{4(\sqrt{m}-7)}{(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)} - \frac{m}{(\sqrt{m}-7)(\sqrt{m}+7)}$

3. Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+7) - 4(\sqrt{m}-7) - m}{m-49}$

4. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{m+7\sqrt{m} - 4\sqrt{m} + 28 - m}{m-49} = \frac{(m-m) + (7\sqrt{m}-4\sqrt{m}) + 28}{m-49} = \frac{3\sqrt{m}+28}{m-49}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{m}+28}{m-49}$