Номер 960, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Определите, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение

(960–962):

960. а) $(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}})^2 \cdot (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1})$;

б) $\frac{1-x^{-2}}{x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{-2}-x}{x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}}$.

а)

Для того чтобы данное выражение имело смысл, необходимо выполнение нескольких условий, связанных с наличием квадратных корней и деления на переменные.

Исходное выражение: $ (\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}})^2 \cdot (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}) $

1. Условие для квадратного корня.

Выражение содержит $\sqrt{x}$. Квадратный корень из числа определен только для неотрицательных чисел, поэтому должно выполняться условие: $x \ge 0$.

2. Условия для знаменателей дробей.

Знаменатели дробей в выражении не должны быть равны нулю.

• В члене $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ знаменатель равен $2\sqrt{x}$. Условие: $2\sqrt{x} \ne 0$, что эквивалентно $\sqrt{x} \ne 0$, и значит $x \ne 0$.
• В дроби $\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ знаменатель равен $\sqrt{x}+1$. Условие: $\sqrt{x}+1 \ne 0$. Поскольку $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и $\sqrt{x}+1 \ge 1$. Таким образом, этот знаменатель никогда не равен нулю при допустимых значениях $x$.
• В дроби $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ знаменатель равен $\sqrt{x}-1$. Условие: $\sqrt{x}-1 \ne 0$, что означает $\sqrt{x} \ne 1$, и следовательно, $x \ne 1$.

3. Объединение всех условий.

Мы получили следующие ограничения для $x$:

$x \ge 0$

$x \ne 0$

$x \ne 1$

Объединив эти условия, получаем, что $x$ должен быть строго больше нуля и не равен единице: $x > 0$ и $x \ne 1$.

В виде интервалов это можно записать как $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Выражение имеет смысл при $x > 0$ и $x \ne 1$.

б)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл, рассмотрим все его компоненты.

Исходное выражение: $ \frac{1-x^{-2}}{x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x^{-2}-x}{x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}} $

1. Условия для степеней с рациональными и отрицательными показателями.

Выражение содержит степени $x^{\frac{1}{2}}$, $x^{-\frac{1}{2}}$, $x^{\frac{3}{2}}$, $x^{-2}$.

• Степени с дробным показателем $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ и $x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}$ определены при $x \ge 0$.
• Степени с отрицательным показателем $x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ и $x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ требуют, чтобы основание степени не было равно нулю, то есть $x \ne 0$.

Совмещая эти два условия ($x \ge 0$ и $x \ne 0$), получаем, что $x$ должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Условия для знаменателей дробей.

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

• Знаменатель первой и третьей дроби: $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$. Найдем, когда он равен нулю: $x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 0 \implies \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Так как $x>0$, мы можем умножить обе части на $\sqrt{x}$, получив $x=1$. Следовательно, должно выполняться условие $x \ne 1$.
• Знаменатель второй дроби: $x^{\frac{3}{2}}$. Условие $x^{\frac{3}{2}} \ne 0$ означает $x \ne 0$. Это условие уже учтено в требовании $x > 0$.

3. Объединение всех условий.

Собирая все найденные ограничения, получаем:

$x > 0$

$x \ne 1$

Это означает, что $x$ может быть любым положительным числом, кроме единицы.

В виде интервалов это можно записать как $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: Выражение имеет смысл при $x > 0$ и $x \ne 1$.