Номер 966, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

966. Найдите все значения $t$, при каждом из которых уравнение не имеет действительных корней:

а) $x^2 + 4x + 6t = 0;$

б) $tx^2 - 2(t - 2)x + t = 0.$

a) $x^2 + 4x + 6t = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения, где коэффициенты $a=1$, $b=4$, $c=6t$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6t) = 16 - 24t$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$16 - 24t < 0$

$16 < 24t$

$t > \frac{16}{24}$

$t > \frac{2}{3}$

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней при $t > \frac{2}{3}$.

Ответ: $t \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

б) $tx^2 - 2(t - 2)x + t = 0$

В данном уравнении коэффициент при старшем члене $x^2$ зависит от параметра $t$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $t = 0$.

Подставим $t=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - 2(0 - 2)x + 0 = 0$

$4x = 0$

$x = 0$

При $t=0$ уравнение имеет один действительный корень $x=0$. Это означает, что значение $t=0$ не является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $t \neq 0$.

В этом случае уравнение является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля. Коэффициенты уравнения: $a=t$, $b=-2(t-2)$, $c=t$.

Так как коэффициент $b$ является четным, для удобства вычислений воспользуемся формулой для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:

$D_1 = (-(t-2))^2 - t \cdot t = (t-2)^2 - t^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D_1 = (t^2 - 4t + 4) - t^2 = -4t + 4$

Решим неравенство $D_1 < 0$ (что эквивалентно $D < 0$):

$-4t + 4 < 0$

$4 < 4t$

$1 < t$

Полученное условие $t > 1$ не противоречит предположению $t \neq 0$.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что уравнение не имеет действительных корней при $t > 1$.

Ответ: $t \in (1; +\infty)$.