Номер 969, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

969. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + ax + 4 = 0$ имеет различных корни?

Данное уравнение $x^2 + ax + 4 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) строго больше нуля.

Дискриминант для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты уравнения $x^2 + ax + 4 = 0$ равны: $A=1$, $B=a$, $C=4$.

Найдем дискриминант данного уравнения: $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Условие наличия двух различных корней — это $D > 0$. Составим и решим соответствующее неравенство: $a^2 - 16 > 0$.

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $(a - 4)(a + 4) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(a - 4)(a + 4) = 0$. Корни: $a_1 = -4$ и $a_2 = 4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $(a - 4)(a + 4)$ в каждом из этих интервалов, взяв пробную точку:
- в интервале $(-\infty; -4)$, например, при $a = -5$: $(-5-4)(-5+4) = (-9)(-1) = 9 > 0$. Знак «+».
- в интервале $(-4; 4)$, например, при $a = 0$: $(0-4)(0+4) = (-4)(4) = -16 < 0$. Знак «-».
- в интервале $(4; +\infty)$, например, при $a = 5$: $(5-4)(5+4) = (1)(9) = 9 > 0$. Знак «+».

Поскольку нас интересуют значения $a$, при которых выражение больше нуля ($>0$), мы выбираем интервалы со знаком «+». Таким образом, решением неравенства являются $a < -4$ или $a > 4$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.