Номер 975, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

975. При каких значениях $p$ один из корней квадратного уравнения $x^2 + px - 5 = 0$ больше 1, а другой меньше 1?

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + px - 5$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, то есть является положительным числом, ветви параболы направлены вверх.

Корни уравнения $x^2 + px - 5 = 0$ — это точки, в которых график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Условие, что один из корней больше 1, а другой меньше 1 ($x_1 < 1 < x_2$), означает, что число 1 находится строго между корнями. Для параболы, ветви которой направлены вверх, это возможно только в том случае, если значение функции в точке $x=1$ является отрицательным.

Запишем это условие в виде неравенства: $f(1) < 0$

Найдем значение функции в точке $x=1$, подставив 1 в ее выражение: $f(1) = 1^2 + p \cdot 1 - 5 = 1 + p - 5 = p - 4$

Теперь решим полученное неравенство относительно $p$: $p - 4 < 0$ $p < 4$

Также необходимо убедиться, что при любых значениях $p$ уравнение имеет два действительных корня. Для этого проверим знак дискриминанта $D$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=p$, $c=-5$.

$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = p^2 + 20$

Поскольку $p^2$ всегда неотрицательно ($p^2 \ge 0$) для любого действительного $p$, дискриминант $D = p^2 + 20$ всегда будет строго положительным ($D \ge 20$). Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $p$.

Следовательно, условие $p < 4$ является необходимым и достаточным.

Ответ: $p < 4$, то есть $p \in (-\infty; 4)$.