Номер 978, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

978. Найдите значение $p$, при котором корни уравнения

$6x^2 + 3x - p = 0$ удовлетворяют условию

$x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = \frac{63}{8}$.

Дано квадратное уравнение $6x^2 + 3x - p = 0$ и условие на его корни $x_1$ и $x_2$: $x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = \frac{63}{8}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма и произведение корней равны:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае $a = 6$, $b = 3$, $c = -p$. Тогда:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-p}{6}$.

Теперь преобразуем левую часть данного условия, чтобы выразить ее через сумму и произведение корней.
$x_1 \cdot x_2^4 + x_2 \cdot x_1^4 = x_1 x_2 (x_2^3 + x_1^3)$.

Используем формулу суммы кубов: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$.
Выразим $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
Подставим это в выражение для суммы кубов:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 - x_1 x_2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное условие:
$x_1 x_2 (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) = \frac{63}{8}$.

Подставим значения суммы и произведения корней, найденные по теореме Виета:
$(\frac{-p}{6}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot ( (-\frac{1}{2})^2 - 3(\frac{-p}{6}) ) = \frac{63}{8}$.

Упростим полученное уравнение и решим его относительно $p$:
$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{3p}{6}) = \frac{63}{8}$
$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{p}{2}) = \frac{63}{8}$
$\frac{p}{12} \cdot (\frac{1 + 2p}{4}) = \frac{63}{8}$
$\frac{p(1 + 2p)}{48} = \frac{63}{8}$

Умножим обе части уравнения на 48, чтобы избавиться от знаменателей:
$p(1 + 2p) = \frac{63 \cdot 48}{8}$
$p + 2p^2 = 63 \cdot 6$
$2p^2 + p = 378$
$2p^2 + p - 378 = 0$.

Мы получили квадратное уравнение относительно $p$. Найдем его корни.
Дискриминант $D_p = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-378) = 1 + 8 \cdot 378 = 1 + 3024 = 3025$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{D_p} = \sqrt{3025} = 55$.
Найдем значения $p$:
$p_1 = \frac{-1 + 55}{2 \cdot 2} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13.5$.
$p_2 = \frac{-1 - 55}{2 \cdot 2} = \frac{-56}{4} = -14$.

Необходимо также проверить, при каких из найденных значений $p$ исходное уравнение $6x^2 + 3x - p = 0$ будет иметь действительные корни. Для этого его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным.
$D_x = 3^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-p) = 9 + 24p \ge 0$.
$24p \ge -9$
$p \ge -\frac{9}{24}$
$p \ge -\frac{3}{8}$.

Проверим найденные значения $p$:
1) $p_1 = 13.5$. Так как $13.5 > -\frac{3}{8}$, это значение подходит.
2) $p_2 = -14$. Так как $-14 < -\frac{3}{8}$, это значение не подходит, так как при нем исходное уравнение не будет иметь действительных корней.

Следовательно, единственное подходящее значение $p$ равно 13.5.
Ответ: $p = 13.5$.