Номер 972, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

972. При каких значениях $t$ уравнение $x^2 - 2tx + t^2 - 1 = 0$ имеет два различных корня, заключённые в интервале:
а) $(0; 3);$
б) $(1; 4);$
в) $(-4; 0);$
г) $(-5; -2)?$

Данное уравнение $x^2 - 2tx + t^2 - 1 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Для нахождения его корней преобразуем левую часть, выделив полный квадрат и применив формулу разности квадратов:

$(x^2 - 2tx + t^2) - 1 = 0$

$(x - t)^2 - 1^2 = 0$

$(x - t - 1)(x - t + 1) = 0$

Отсюда находим два различных корня уравнения: $x_1 = t - 1$ и $x_2 = t + 1$.

По условию задачи, оба корня должны быть заключены в некотором интервале $(A, B)$. Это означает, что должны одновременно выполняться неравенства $A < x_1 < B$ и $A < x_2 < B$. Запишем это в виде системы:

$$ \begin{cases} A < t - 1 < B \\ A < t + 1 < B \end{cases} $$

Решим эту систему относительно $t$. Из первого неравенства получаем $A + 1 < t < B + 1$. Из второго неравенства получаем $A - 1 < t < B - 1$.

Для одновременного выполнения этих условий необходимо найти пересечение интервалов $(A+1, B+1)$ и $(A-1, B-1)$. Пересечением является интервал $(A+1, B-1)$.

Таким образом, общее условие для параметра $t$, при котором оба корня лежат в интервале $(A, B)$, имеет вид $A+1 < t < B-1$. Применим это условие для каждого из случаев.

а)

Корни должны быть в интервале $(0; 3)$. В этом случае $A=0$, $B=3$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$0+1 < t < 3-1$

$1 < t < 2$

Ответ: $t \in (1; 2)$.

б)

Корни должны быть в интервале $(1; 4)$. В этом случае $A=1$, $B=4$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$1+1 < t < 4-1$

$2 < t < 3$

Ответ: $t \in (2; 3)$.

в)

Корни должны быть в интервале $(-4; 0)$. В этом случае $A=-4$, $B=0$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$-4+1 < t < 0-1$

$-3 < t < -1$

Ответ: $t \in (-3; -1)$.

г)

Корни должны быть в интервале $(-5; -2)$. В этом случае $A=-5$, $B=-2$.

Подставляем значения в общее условие $A+1 < t < B-1$:

$-5+1 < t < -2-1$

$-4 < t < -3$

Ответ: $t \in (-4; -3)$.