Номер 968, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

968. При каких значениях $p$ уравнение $2x^2 + x + 2p^2 = 0$:

а) не имеет действительных корней;

б) имеет равные корни;

в) имеет неравные корни?

Для анализа количества корней квадратного уравнения $2x^2 + x + 2p^2 = 0$ необходимо исследовать знак его дискриминанта $D$. Общая формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит как $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 1$, $c = 2p^2$.

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2p^2) = 1 - 16p^2$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно в зависимости от знака дискриминанта.

а) не имеет действительных корней;
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$). Составим и решим неравенство:
$1 - 16p^2 < 0$
$1 < 16p^2$
$p^2 > \frac{1}{16}$
Это неравенство выполняется, если $p < -\sqrt{\frac{1}{16}}$ или $p > \sqrt{\frac{1}{16}}$.
Следовательно, $p < -\frac{1}{4}$ или $p > \frac{1}{4}$.
Ответ: $p \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

б) имеет равные корни;
Квадратное уравнение имеет два равных действительных корня (то есть один корень кратности 2), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Составим и решим уравнение:
$1 - 16p^2 = 0$
$16p^2 = 1$
$p^2 = \frac{1}{16}$
$p = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$
$p = \pm\frac{1}{4}$.
Ответ: $p = -\frac{1}{4}, p = \frac{1}{4}$.

в) имеет неравные корни?
Квадратное уравнение имеет два различных (неравных) действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$). Составим и решим неравенство:
$1 - 16p^2 > 0$
$1 > 16p^2$
$p^2 < \frac{1}{16}$
Это неравенство выполняется, если $-\sqrt{\frac{1}{16}} < p < \sqrt{\frac{1}{16}}$.
Следовательно, $-\frac{1}{4} < p < \frac{1}{4}$.
Ответ: $p \in (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4})$.