Страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

961. a) $ \frac{\frac{a^{1.5} + b^{1.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} - a^{0.5}b^{0.5}}{a - b} + \frac{2b^{0.5}}{a^{0.5} + b^{0.5}} $;

б) $ \frac{3^{1.5}}{(3^{0.5})^3 a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^{\frac{5}{6}} + 3^{1.5}a^{\frac{1}{3}}}{ (a^{\frac{1}{3}} + 3) } \cdot \left( \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - b} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}}} \right) $.

а)

Упростим данное выражение по частям. Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{a^{1,5} + b^{1,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5}}{a - b} + \frac{2b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $$

1. Сначала упростим числитель первой дроби: $ \frac{a^{1,5} + b^{1,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5} $.

Используем формулу суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) $.

Пусть $ x = a^{0,5} $ и $ y = b^{0,5} $. Тогда $ x^3 = a^{1,5} $ и $ y^3 = b^{1,5} $.

Получаем:

$$ \frac{(a^{0,5})^3 + (b^{0,5})^3}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5} = \frac{(a^{0,5} + b^{0,5})( (a^{0,5})^2 - a^{0,5}b^{0,5} + (b^{0,5})^2 )}{a^{0,5} + b^{0,5}} - a^{0,5}b^{0,5} $$

Сокращаем $ (a^{0,5} + b^{0,5}) $:

$$ (a - a^{0,5}b^{0,5} + b) - a^{0,5}b^{0,5} = a - 2a^{0,5}b^{0,5} + b $$

Это выражение является полным квадратом разности:

$$ a - 2a^{0,5}b^{0,5} + b = (a^{0,5} - b^{0,5})^2 $$

2. Теперь подставим полученное выражение обратно в первую дробь. Знаменатель первой дроби $ a - b $ можно разложить по формуле разности квадратов:

$$ a - b = (a^{0,5})^2 - (b^{0,5})^2 = (a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5}) $$

Таким образом, первая дробь принимает вид:

$$ \frac{(a^{0,5} - b^{0,5})^2}{(a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})} = \frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $$

3. Теперь сложим результат со второй дробью:

$$ \frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} + \frac{2b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} $$

Так как знаменатели одинаковы, складываем числители:

$$ \frac{a^{0,5} - b^{0,5} + 2b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} = \frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{a^{0,5} + b^{0,5}} = 1 $$

Ответ: $1$

б)

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатки. В частности, переменная $b$ встречается только в одном множителе, в то время как остальная часть выражения зависит от переменной $a$ и константы 3. Это делает маловероятным значительное упрощение выражения в его исходном виде.

Наиболее вероятная опечатка — это замена $b$ на 3. Выполним решение с этой заменой. Исходное выражение с заменой $ b=3 $:

$$ \frac{3^{1,5}}{(3^{0,5})^3 a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{2}{3}}} + \frac{a^{\frac{5}{6}} + 3^{1,5}a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + 3} \cdot \left( \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - 3} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}3^{\frac{1}{2}}} \right) $$

1. Упростим выражение в скобках:

$$ \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - 3} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{(a^{\frac{1}{4}})^2 - (3^{\frac{1}{2}})^2} - \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})} $$

$$ = \frac{1}{(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})} $$

Приводим к общему знаменателю $ a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3) $:

$$ = \frac{a^{\frac{1}{4}} - (a^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} = \frac{-3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

2. Упростим первый член выражения:

$$ \frac{3^{1,5}}{(3^{0,5})^3 a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{2}{3}}} = \frac{3^{1,5}}{3^{1,5} a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{4}{6}}} = \frac{3^{1,5}}{a^{\frac{1}{6}}(3^{1,5} - a^{\frac{1}{2}})} $$

3. Рассмотрим второй член выражения. Он состоит из произведения двух дробей:

$$ \frac{a^{\frac{5}{6}} + 3^{1,5}a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} + 3} \cdot \frac{-3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

Вынесем $ a^{\frac{1}{3}} $ в числителе первой дроби:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} + 3^{1,5})}{a^{\frac{1}{3}} + 3} \cdot \frac{-3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{2}} - 3)} = - \frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + 3^{1,5})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

$$ = - \frac{a^{\frac{1}{12}} \cdot 3^{0,5}(a^{0,5} + 3^{1,5})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $$

4. Соберем все вместе:

$$ \frac{3^{1,5}}{a^{\frac{1}{6}}(3^{1,5} - a^{\frac{1}{2}})} - \frac{3^{0,5} a^{\frac{1}{12}}(a^{0,5} + 3^{1,5})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{0,5} - 3)} $$

Дальнейшее упрощение без дополнительных предположений о структуре исходного примера не представляется возможным. Полученное выражение является ответом при условии сделанной замены $b=3$.

Ответ: $ \frac{3^{1,5}}{a^{\frac{1}{6}}(3^{1,5} - a^{\frac{1}{2}})} - \frac{\sqrt{3} a^{\frac{1}{12}}(a^{\frac{1}{2}} + 3\sqrt{3})}{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{1}{2}} - 3)} $

962. a) $ (a + b^{\frac{3}{2}} : \sqrt{a})^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right)^{-\frac{2}{3}} $

б) $ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 2a^2 : \sqrt{a} + b\sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} + \frac{3\sqrt{ab} - 3b}{a - b} $

а)

Упростим выражение по частям. Исходное выражение:

$ (a + b^{\frac{3}{2}} : \sqrt{a})^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)^{-\frac{2}{3}} $

1. Упростим первое выражение в скобках. Используем стандартный порядок действий (сначала деление, потом сложение) и представим корни в виде степеней: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$.

$ a + b^{\frac{3}{2}} : \sqrt{a} = a + \frac{b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} $

Приведем к общему знаменателю $a^{\frac{1}{2}}$:

$ \frac{a \cdot a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} $

Воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$:

$ a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b) $

Таким образом, первое выражение равно:

$ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}} $

2. Упростим второе выражение в скобках.

$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$:

$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + \sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{(a-2\sqrt{ab}+b) + \sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}} = \frac{a-\sqrt{ab}+b}{a-\sqrt{ab}} $

3. Теперь объединим все части и применим степени.

$ \left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{a-\sqrt{ab}+b}{a-\sqrt{ab}}\right)^{-\frac{2}{3}} $

Воспользуемся свойством степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$ \left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}}\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{a-\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}+b}\right)^{\frac{2}{3}} $

Объединим выражения под общим показателем степени $\frac{2}{3}$:

$ \left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}{\sqrt{a}} \cdot \frac{a-\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}+b}\right)^{\frac{2}{3}} $

Сократим одинаковые множители $(a-\sqrt{ab}+b)$:

$ \left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (a-\sqrt{ab})}{\sqrt{a}}\right)^{\frac{2}{3}} $

В числителе вынесем $\sqrt{a}$ за скобки: $a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

$ \left(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}}\right)^{\frac{2}{3}} $

Сократим $\sqrt{a}$:

$ \left((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})\right)^{\frac{2}{3}} $

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:

$ (a-b)^{\frac{2}{3}} $

Ответ: $(a-b)^{\frac{2}{3}}$

б)

Исходное выражение:

$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + 2a^2 : \sqrt{a} + b\sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} + \frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b} $

Упростим числитель первой дроби, помня, что $2a^2 : \sqrt{a} = 2a^2/a^{1/2} = 2a^{3/2} = 2a\sqrt{a}$:

$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (a-2\sqrt{ab}+b) + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b} $

В таком виде выражение не приводит к существенному упрощению, что часто указывает на опечатку в условии задачи (распространенная проблема в сборниках задач). Наиболее вероятная опечатка, которая приводит к красивому решению, — это замена сложного члена $2a^2 : \sqrt{a} + b\sqrt{b}$ на $\sqrt{ab}$. Примем это предположение и решим исправленную задачу.

Предполагаемое условие:

$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + \sqrt{ab}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} + \frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b} $

1. Упростим первую дробь.

Числитель: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 + \sqrt{ab} = a-2\sqrt{ab}+b + \sqrt{ab} = a-\sqrt{ab}+b$.

Знаменатель (сумма кубов): $a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)$.

Первая дробь: $\frac{a-\sqrt{ab}+b}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

2. Упростим вторую дробь.

Числитель: $3\sqrt{ab}-3b = 3\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

Знаменатель (разность квадратов): $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.

Вторая дробь: $\frac{3\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

3. Сложим полученные выражения.

$ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{1+3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $

Ответ: $\frac{1+3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ (при условии исправления опечатки в задаче)

963. Решите уравнение:

a) $(x - 2)(x - 1)(x - 3) = 0;$

б) $(x + 1)(x + 2)(x - 5) = 0;$

в) $(2x - 3)(4 - 3x) = 0;$

г) $(5x - 1)(2x + 7) = 0.$

а) Дано уравнение $(x - 2)(x - 1)(x - 3) = 0$.

Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x - 2 = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x - 3 = 0$.

Решаем каждое из этих простых уравнений:
1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.
2) $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$.
3) $x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$.
Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: $1; 2; 3$.

б) Дано уравнение $(x + 1)(x + 2)(x - 5) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 1 = 0$ или $x + 2 = 0$ или $x - 5 = 0$.

Решаем каждое уравнение:
1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$.
2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$.
3) $x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$.
Корнями уравнения являются найденные значения $x$.

Ответ: $-2; -1; 5$.

в) Дано уравнение $(2x - 3)(4 - 3x) = 0$.

Чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из сомножителей был равен нулю. Поэтому приравниваем каждую скобку к нулю:
$2x - 3 = 0$ или $4 - 3x = 0$.

Решаем получившиеся линейные уравнения:
1) $2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$.
2) $4 - 3x = 0$
$4 = 3x$
$x_2 = \frac{4}{3}$.
Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{4}{3}; 1,5$.

г) Дано уравнение $(5x - 1)(2x + 7) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$5x - 1 = 0$ или $2x + 7 = 0$.

Решаем каждое из этих уравнений:
1) $5x - 1 = 0$
$5x = 1$
$x_1 = \frac{1}{5} = 0,2$.
2) $2x + 7 = 0$
$2x = -7$
$x_2 = -\frac{7}{2} = -3,5$.
Корнями данного уравнения являются $x_1$ и $x_2$.

Ответ: $-3,5; 0,2$.

964. Дан многочлен $x^3 - 5x^2 + 8x$. Известно, что если значение $x$ увеличить на 1, то значение многочлена не изменится. Найдите это значение $x$.

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Согласно условию, если значение $x$ увеличить на 1, то значение многочлена не изменится. Математически это можно выразить как равенство: $P(x+1) = P(x)$.

Запишем это равенство, подставив в него выражение для многочлена: $(x+1)^3 - 5(x+1)^2 + 8(x+1) = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3) - 5(x^2 + 2x + 1) + (8x + 8) = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Упростим левую часть: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 5x^2 - 10x - 5 + 8x + 8 = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: $x^3 + (3x^2 - 5x^2) + (3x - 10x + 8x) + (1 - 5 + 8) = x^3 - 5x^2 + 8x$ $x^3 - 2x^2 + x + 4 = x^3 - 5x^2 + 8x$.

Сократим одинаковые слагаемые ($x^3$) в обеих частях и перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^3 - 2x^2 + x + 4 - x^3 + 5x^2 - 8x = 0$ $(-2x^2 + 5x^2) + (x - 8x) + 4 = 0$ $3x^2 - 7x + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=-7$, $c=4$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. $x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют два значения $x$.

Ответ: $1$ и $\frac{4}{3}$.

965. Найдите все значения $t$, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня:

а) $x^2 - 6x + t = 0;$

б) $(t + 3)x^2 + 2(t - 1)x + t = 0.$

а)

Данное уравнение $x^2 - 6x + t = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = t$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot t = 36 - 4t$.

Условие наличия двух различных корней: $D > 0$.
$36 - 4t > 0$.

Решим это неравенство относительно $t$:
$36 > 4t$
$9 > t$

Следовательно, уравнение имеет два различных корня при $t < 9$.

Ответ: $t \in (-\infty; 9)$.

б)

Рассмотрим уравнение $(t + 3)x^2 + 2(t - 1)x + t = 0$.

Это уравнение является квадратным только если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$t + 3 = 0 \implies t = -3$.
Подставим $t = -3$ в исходное уравнение:
$(-3 + 3)x^2 + 2(-3 - 1)x + (-3) = 0$
$0 \cdot x^2 - 8x - 3 = 0$
$-8x = 3$
$x = -3/8$
При $t = -3$ уравнение становится линейным и имеет только один корень. Это не удовлетворяет условию о двух различных корнях.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
$t + 3 \neq 0 \implies t \neq -3$.
В этом случае уравнение является квадратным. Оно имеет два различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a = t + 3$, $b = 2(t - 1)$, $c = t$.
Поскольку коэффициент $b$ четный, удобно использовать "сокращенный" дискриминант $D/4 = k^2 - ac$, где $k = b/2 = t - 1$.
$D/4 = (t - 1)^2 - (t + 3) \cdot t$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$D/4 = (t^2 - 2t + 1) - (t^2 + 3t) = t^2 - 2t + 1 - t^2 - 3t = 1 - 5t$.

Условие наличия двух различных корней: $D/4 > 0$.
$1 - 5t > 0$
$1 > 5t$
$t < 1/5$.

Мы получили, что для наличия двух различных корней должно выполняться условие $t < 1/5$. Однако мы также должны помнить об ограничении из Случая 2: $t \neq -3$.
Так как $-3$ входит в промежуток $t < 1/5$, это значение необходимо исключить.

Таким образом, итоговое множество значений для $t$ — это все числа, меньшие $1/5$, кроме $-3$.

Ответ: $t \in (-\infty; -3) \cup (-3; 1/5)$.

966. Найдите все значения $t$, при каждом из которых уравнение не имеет действительных корней:

а) $x^2 + 4x + 6t = 0;$

б) $tx^2 - 2(t - 2)x + t = 0.$

a) $x^2 + 4x + 6t = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения, где коэффициенты $a=1$, $b=4$, $c=6t$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6t) = 16 - 24t$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$16 - 24t < 0$

$16 < 24t$

$t > \frac{16}{24}$

$t > \frac{2}{3}$

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней при $t > \frac{2}{3}$.

Ответ: $t \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

б) $tx^2 - 2(t - 2)x + t = 0$

В данном уравнении коэффициент при старшем члене $x^2$ зависит от параметра $t$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $t = 0$.

Подставим $t=0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - 2(0 - 2)x + 0 = 0$

$4x = 0$

$x = 0$

При $t=0$ уравнение имеет один действительный корень $x=0$. Это означает, что значение $t=0$ не является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $t \neq 0$.

В этом случае уравнение является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля. Коэффициенты уравнения: $a=t$, $b=-2(t-2)$, $c=t$.

Так как коэффициент $b$ является четным, для удобства вычислений воспользуемся формулой для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:

$D_1 = (-(t-2))^2 - t \cdot t = (t-2)^2 - t^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D_1 = (t^2 - 4t + 4) - t^2 = -4t + 4$

Решим неравенство $D_1 < 0$ (что эквивалентно $D < 0$):

$-4t + 4 < 0$

$4 < 4t$

$1 < t$

Полученное условие $t > 1$ не противоречит предположению $t \neq 0$.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что уравнение не имеет действительных корней при $t > 1$.

Ответ: $t \in (1; +\infty)$.

967. Найдите все значения $t$, при каждом из которых квадратное уравнение $2x^2 - 5x - t = 0$ имеет два положительных различных корня.

Для того чтобы квадратное уравнение $2x^2 - 5x - t = 0$ имело два различных положительных корня, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия одновременно:

1. Дискриминант уравнения должен быть строго положительным ($D > 0$), что обеспечивает наличие двух различных действительных корней.

2. Сумма корней должна быть положительной ($x_1 + x_2 > 0$).

3. Произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$).

Применим эти условия к данному уравнению, где коэффициенты $a=2$, $b=-5$, $c=-t$.

Найдём дискриминант и применим первое условие:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-t) = 25 + 8t$.

$D > 0 \implies 25 + 8t > 0$

$8t > -25$

$t > -\frac{25}{8}$

Применим второе и третье условия, используя теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$.

Условие $x_1 + x_2 > 0$ выполняется, так как $\frac{5}{2} > 0$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-t}{2}$.

Условие $x_1 \cdot x_2 > 0$ дает нам неравенство:

$\frac{-t}{2} > 0$

Умножим обе части на $-2$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$t < 0$

Объединим все условия в систему неравенств:

Для того чтобы уравнение имело два различных положительных корня, параметр $t$ должен удовлетворять системе:$$\begin{cases} t > -\frac{25}{8} \\ t < 0\end{cases}$$

Решением данной системы является интервал $(-\frac{25}{8}; 0)$.

Ответ: $t \in (-\frac{25}{8}; 0)$.

968. При каких значениях $p$ уравнение $2x^2 + x + 2p^2 = 0$:

а) не имеет действительных корней;

б) имеет равные корни;

в) имеет неравные корни?

Для анализа количества корней квадратного уравнения $2x^2 + x + 2p^2 = 0$ необходимо исследовать знак его дискриминанта $D$. Общая формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит как $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 1$, $c = 2p^2$.

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2p^2) = 1 - 16p^2$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно в зависимости от знака дискриминанта.

а) не имеет действительных корней;
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант строго меньше нуля ($D < 0$). Составим и решим неравенство:
$1 - 16p^2 < 0$
$1 < 16p^2$
$p^2 > \frac{1}{16}$
Это неравенство выполняется, если $p < -\sqrt{\frac{1}{16}}$ или $p > \sqrt{\frac{1}{16}}$.
Следовательно, $p < -\frac{1}{4}$ или $p > \frac{1}{4}$.
Ответ: $p \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

б) имеет равные корни;
Квадратное уравнение имеет два равных действительных корня (то есть один корень кратности 2), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Составим и решим уравнение:
$1 - 16p^2 = 0$
$16p^2 = 1$
$p^2 = \frac{1}{16}$
$p = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$
$p = \pm\frac{1}{4}$.
Ответ: $p = -\frac{1}{4}, p = \frac{1}{4}$.

в) имеет неравные корни?
Квадратное уравнение имеет два различных (неравных) действительных корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$). Составим и решим неравенство:
$1 - 16p^2 > 0$
$1 > 16p^2$
$p^2 < \frac{1}{16}$
Это неравенство выполняется, если $-\sqrt{\frac{1}{16}} < p < \sqrt{\frac{1}{16}}$.
Следовательно, $-\frac{1}{4} < p < \frac{1}{4}$.
Ответ: $p \in (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4})$.

969. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + ax + 4 = 0$ имеет различных корни?

Данное уравнение $x^2 + ax + 4 = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) строго больше нуля.

Дискриминант для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты уравнения $x^2 + ax + 4 = 0$ равны: $A=1$, $B=a$, $C=4$.

Найдем дискриминант данного уравнения: $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Условие наличия двух различных корней — это $D > 0$. Составим и решим соответствующее неравенство: $a^2 - 16 > 0$.

Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $(a - 4)(a + 4) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(a - 4)(a + 4) = 0$. Корни: $a_1 = -4$ и $a_2 = 4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $(a - 4)(a + 4)$ в каждом из этих интервалов, взяв пробную точку:
- в интервале $(-\infty; -4)$, например, при $a = -5$: $(-5-4)(-5+4) = (-9)(-1) = 9 > 0$. Знак «+».
- в интервале $(-4; 4)$, например, при $a = 0$: $(0-4)(0+4) = (-4)(4) = -16 < 0$. Знак «-».
- в интервале $(4; +\infty)$, например, при $a = 5$: $(5-4)(5+4) = (1)(9) = 9 > 0$. Знак «+».

Поскольку нас интересуют значения $a$, при которых выражение больше нуля ($>0$), мы выбираем интервалы со знаком «+». Таким образом, решением неравенства являются $a < -4$ или $a > 4$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

970. При каких значениях $m$ уравнение не имеет действительных корней:

а) $2x^2 - 3mx + 1 = 0;$

б) $3mx^2 - x + m = 0;$

в) $(m + 1)x^2 + mx + 3 + m = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$). Если коэффициент $a$ зависит от параметра $m$, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда $a=0$, так как в этом случае уравнение становится линейным.

а) $2x^2 - 3mx + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (константа, не равная нулю). Уравнение не будет иметь действительных корней, если его дискриминант меньше нуля.

Определим коэффициенты: $a=2$, $b=-3m$, $c=1$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9m^2 - 8$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$9m^2 - 8 < 0$

$9m^2 < 8$

$m^2 < \frac{8}{9}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|m| < \sqrt{\frac{8}{9}}$

$-\frac{\sqrt{8}}{3} < m < \frac{\sqrt{8}}{3}$

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, $m$ должно находиться в интервале $(-\frac{2\sqrt{2}}{3}; \frac{2\sqrt{2}}{3})$.

Ответ: $m \in (-\frac{2\sqrt{2}}{3}; \frac{2\sqrt{2}}{3})$.

б) $3mx^2 - x + m = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $3m \neq 0 \implies m \neq 0$.

В этом случае уравнение не имеет действительных корней при $D < 0$.

Коэффициенты: $a=3m$, $b=-1$, $c=m$.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot (3m) \cdot m = 1 - 12m^2$

Решим неравенство $D < 0$:

$1 - 12m^2 < 0$

$1 < 12m^2$

$m^2 > \frac{1}{12}$

Это неравенство справедливо, когда $|m| > \sqrt{\frac{1}{12}}$.

$m < -\frac{1}{\sqrt{12}}$ или $m > \frac{1}{\sqrt{12}}$

Упростим выражение: $\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Получаем: $m < -\frac{\sqrt{3}}{6}$ или $m > \frac{\sqrt{3}}{6}$. Условие $m \neq 0$ здесь выполняется.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $3m = 0 \implies m = 0$.

Подставим $m=0$ в исходное уравнение:

$3 \cdot 0 \cdot x^2 - x + 0 = 0$

$-x = 0$, откуда $x = 0$.

При $m=0$ уравнение имеет один действительный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение не имеет действительных корней при значениях $m$ из первого случая.

Ответ: $m \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{6}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{6}; +\infty)$.

в) $(m + 1)x^2 + mx + 3 + m = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $m+1 \neq 0 \implies m \neq -1$.

Уравнение не имеет действительных корней при $D < 0$.

Коэффициенты: $a = m+1$, $b = m$, $c = 3+m$.

$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m+1)(m+3)$

$D = m^2 - 4(m^2 + 3m + m + 3) = m^2 - 4(m^2 + 4m + 3) = m^2 - 4m^2 - 16m - 12 = -3m^2 - 16m - 12$

Решим неравенство $D < 0$:

$-3m^2 - 16m - 12 < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$3m^2 + 16m + 12 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $3m^2 + 16m + 12 = 0$.

$D_m = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 256 - 144 = 112$

$m_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{3}$

Парабола $y=3m^2+16m+12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $3m^2+16m+12 > 0$ выполняется, когда $m$ находится вне интервала между корнями:

$m < \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{3}$ или $m > \frac{-8 + 2\sqrt{7}}{3}$

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $m+1 = 0 \implies m = -1$.

Подставим $m=-1$ в исходное уравнение:

$(-1+1)x^2 + (-1)x + 3 + (-1) = 0$

$0 \cdot x^2 - x + 2 = 0$

$-x + 2 = 0$, откуда $x = 2$.

При $m=-1$ уравнение имеет один действительный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, решением является объединение интервалов, полученных в первом случае.

Ответ: $m \in (-\infty; \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{-8 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty)$.

971. При каких значениях $m$ уравнение имеет два равных положительных корня: два равных отрицательных корня:

a) $3x^2 + 4mx + 1 = 0;$

б) $mx^2 - (m + 1)x + 2 = 0?$

а) $3x^2 + 4mx + 1 = 0$

Квадратное уравнение имеет два равных корня (один корень кратности 2), когда его дискриминант $D$ равен нулю. Коэффициенты данного уравнения: $a=3$, $b=4m$, $c=1$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (4m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16m^2 - 12$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $m$, при которых уравнение имеет два равных корня: $16m^2 - 12 = 0$ $16m^2 = 12$ $m^2 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ $m = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь нужно определить знак корня при найденных значениях $m$. Корень уравнения при $D=0$ находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$. $x = -\frac{4m}{2 \cdot 3} = -\frac{2m}{3}$.

Для того чтобы уравнение имело два равных положительных корня, корень должен быть положительным: $x > 0$. $-\frac{2m}{3} > 0$. Умножая неравенство на $-\frac{3}{2}$, меняем знак на противоположный: $m < 0$. Из двух найденных значений $m = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ этому условию удовлетворяет $m = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для того чтобы уравнение имело два равных отрицательных корня, корень должен быть отрицательным: $x < 0$. $-\frac{2m}{3} < 0$. Умножая неравенство на $-\frac{3}{2}$, меняем знак на противоположный: $m > 0$. Из двух найденных значений $m = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ этому условию удовлетворяет $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: уравнение имеет два равных положительных корня при $m = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; два равных отрицательных корня при $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $mx^2 - (m + 1)x + 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $m \ne 0$. Коэффициенты уравнения: $a=m$, $b=-(m+1)$, $c=2$.

Найдем дискриминант и приравняем его к нулю: $D = b^2 - 4ac = (-(m+1))^2 - 4 \cdot m \cdot 2 = (m+1)^2 - 8m$. $D = m^2 + 2m + 1 - 8m = m^2 - 6m + 1$.

Приравняем дискриминант к нулю: $m^2 - 6m + 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $m$: $m = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}$. $m = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$. Оба значения, $m_1 = 3 + 2\sqrt{2}$ и $m_2 = 3 - 2\sqrt{2}$, не равны нулю, так что они являются допустимыми.

Корень уравнения при $D=0$ равен $x = -\frac{b}{2a}$. $x = -\frac{-(m+1)}{2m} = \frac{m+1}{2m}$.

Для того чтобы уравнение имело два равных положительных корня, корень должен быть положительным: $x > 0$. $\frac{m+1}{2m} > 0$. Это неравенство верно, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Решая методом интервалов, получаем $m \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$. Оба найденных значения $m = 3 + 2\sqrt{2}$ и $m = 3 - 2\sqrt{2}$ являются положительными числами ($3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2.828 = 0.172 > 0$), поэтому оба удовлетворяют условию $m>0$.

Для того чтобы уравнение имело два равных отрицательных корня, корень должен быть отрицательным: $x < 0$. $\frac{m+1}{2m} < 0$. Это неравенство верно, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Решая методом интервалов, получаем $-1 < m < 0$. Ни одно из найденных значений $m = 3 \pm 2\sqrt{2}$ не попадает в интервал $(-1, 0)$.

Ответ: уравнение имеет два равных положительных корня при $m = 3 \pm 2\sqrt{2}$; значений $m$, при которых уравнение имеет два равных отрицательных корня, не существует.