Номер 970, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

970. При каких значениях $m$ уравнение не имеет действительных корней:

а) $2x^2 - 3mx + 1 = 0;$

б) $3mx^2 - x + m = 0;$

в) $(m + 1)x^2 + mx + 3 + m = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$). Если коэффициент $a$ зависит от параметра $m$, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда $a=0$, так как в этом случае уравнение становится линейным.

а) $2x^2 - 3mx + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (константа, не равная нулю). Уравнение не будет иметь действительных корней, если его дискриминант меньше нуля.

Определим коэффициенты: $a=2$, $b=-3m$, $c=1$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9m^2 - 8$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$9m^2 - 8 < 0$

$9m^2 < 8$

$m^2 < \frac{8}{9}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|m| < \sqrt{\frac{8}{9}}$

$-\frac{\sqrt{8}}{3} < m < \frac{\sqrt{8}}{3}$

Упростим корень: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, $m$ должно находиться в интервале $(-\frac{2\sqrt{2}}{3}; \frac{2\sqrt{2}}{3})$.

Ответ: $m \in (-\frac{2\sqrt{2}}{3}; \frac{2\sqrt{2}}{3})$.

б) $3mx^2 - x + m = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $3m \neq 0 \implies m \neq 0$.

В этом случае уравнение не имеет действительных корней при $D < 0$.

Коэффициенты: $a=3m$, $b=-1$, $c=m$.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot (3m) \cdot m = 1 - 12m^2$

Решим неравенство $D < 0$:

$1 - 12m^2 < 0$

$1 < 12m^2$

$m^2 > \frac{1}{12}$

Это неравенство справедливо, когда $|m| > \sqrt{\frac{1}{12}}$.

$m < -\frac{1}{\sqrt{12}}$ или $m > \frac{1}{\sqrt{12}}$

Упростим выражение: $\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Получаем: $m < -\frac{\sqrt{3}}{6}$ или $m > \frac{\sqrt{3}}{6}$. Условие $m \neq 0$ здесь выполняется.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $3m = 0 \implies m = 0$.

Подставим $m=0$ в исходное уравнение:

$3 \cdot 0 \cdot x^2 - x + 0 = 0$

$-x = 0$, откуда $x = 0$.

При $m=0$ уравнение имеет один действительный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение не имеет действительных корней при значениях $m$ из первого случая.

Ответ: $m \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{6}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{6}; +\infty)$.

в) $(m + 1)x^2 + mx + 3 + m = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $m+1 \neq 0 \implies m \neq -1$.

Уравнение не имеет действительных корней при $D < 0$.

Коэффициенты: $a = m+1$, $b = m$, $c = 3+m$.

$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m+1)(m+3)$

$D = m^2 - 4(m^2 + 3m + m + 3) = m^2 - 4(m^2 + 4m + 3) = m^2 - 4m^2 - 16m - 12 = -3m^2 - 16m - 12$

Решим неравенство $D < 0$:

$-3m^2 - 16m - 12 < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$3m^2 + 16m + 12 > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $3m^2 + 16m + 12 = 0$.

$D_m = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 256 - 144 = 112$

$m_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{3}$

Парабола $y=3m^2+16m+12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $3m^2+16m+12 > 0$ выполняется, когда $m$ находится вне интервала между корнями:

$m < \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{3}$ или $m > \frac{-8 + 2\sqrt{7}}{3}$

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $m+1 = 0 \implies m = -1$.

Подставим $m=-1$ в исходное уравнение:

$(-1+1)x^2 + (-1)x + 3 + (-1) = 0$

$0 \cdot x^2 - x + 2 = 0$

$-x + 2 = 0$, откуда $x = 2$.

При $m=-1$ уравнение имеет один действительный корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, решением является объединение интервалов, полученных в первом случае.

Ответ: $m \in (-\infty; \frac{-8 - 2\sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{-8 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty)$.