Номер 974, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

974. При каких значениях $m$ уравнение $(m - 2)x^2 + (m + 2)x + m = 0$ имеет различные корни?

Данное уравнение $(m-2)x^2 + (m+2)x + m = 0$ может быть как квадратным, так и линейным, в зависимости от значения параметра $m$. Чтобы уравнение имело различные корни, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю:

$m - 2 = 0 \implies m = 2$.

Подставим значение $m = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x^2 + (2 + 2)x + 2 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x + 2 = 0$

$4x = -2$

$x = -0.5$

При $m = 2$ уравнение имеет только один корень. Условие о наличии различных корней не выполняется.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $m - 2 \neq 0$, или $m \neq 2$.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Вычислим дискриминант для уравнения $(m-2)x^2 + (m+2)x + m = 0$. Здесь коэффициенты $a = m-2$, $b = m+2$, $c = m$.

$D = b^2 - 4ac = (m+2)^2 - 4(m-2)m$

$D = (m^2 + 4m + 4) - (4m^2 - 8m)$

$D = m^2 + 4m + 4 - 4m^2 + 8m$

$D = -3m^2 + 12m + 4$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$-3m^2 + 12m + 4 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$3m^2 - 12m - 4 < 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3m^2 - 12m - 4 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения (обозначим его $D_m$):

$D_m = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 144 + 48 = 192$

Корни уравнения:

$m_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm \sqrt{64 \cdot 3}}{6} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{3}$

Итак, корни: $m_1 = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}$ и $m_2 = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3}$.

Парабола $y = 3m^2 - 12m - 4$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $3m^2 - 12m - 4 < 0$ выполняется между корнями.

Таким образом, $m \in (\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$.

В этом случае мы рассматривали условие $m \neq 2$. Проверим, входит ли $m=2$ в найденный интервал.

$\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3} = 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Так как $\frac{4\sqrt{3}}{3} > 0$, то $2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} < 2$.

$\frac{6 + 4\sqrt{3}}{3} = 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$. Так как $\frac{4\sqrt{3}}{3} > 0$, то $2 + \frac{4\sqrt{3}}{3} > 2$.

Значение $m=2$ находится внутри интервала $(\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$, но при $m=2$ уравнение имеет только один корень, поэтому это значение нужно исключить.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет различные корни при $m$ из интервала $(\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$ за исключением точки $m=2$.

Ответ: $m \in (\frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}; 2) \cup (2; \frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})$