Номер 971, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

971. При каких значениях $m$ уравнение имеет два равных положительных корня: два равных отрицательных корня:

a) $3x^2 + 4mx + 1 = 0;$

б) $mx^2 - (m + 1)x + 2 = 0?$

а) $3x^2 + 4mx + 1 = 0$

Квадратное уравнение имеет два равных корня (один корень кратности 2), когда его дискриминант $D$ равен нулю. Коэффициенты данного уравнения: $a=3$, $b=4m$, $c=1$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (4m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16m^2 - 12$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $m$, при которых уравнение имеет два равных корня: $16m^2 - 12 = 0$ $16m^2 = 12$ $m^2 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$ $m = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь нужно определить знак корня при найденных значениях $m$. Корень уравнения при $D=0$ находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$. $x = -\frac{4m}{2 \cdot 3} = -\frac{2m}{3}$.

Для того чтобы уравнение имело два равных положительных корня, корень должен быть положительным: $x > 0$. $-\frac{2m}{3} > 0$. Умножая неравенство на $-\frac{3}{2}$, меняем знак на противоположный: $m < 0$. Из двух найденных значений $m = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ этому условию удовлетворяет $m = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для того чтобы уравнение имело два равных отрицательных корня, корень должен быть отрицательным: $x < 0$. $-\frac{2m}{3} < 0$. Умножая неравенство на $-\frac{3}{2}$, меняем знак на противоположный: $m > 0$. Из двух найденных значений $m = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ этому условию удовлетворяет $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: уравнение имеет два равных положительных корня при $m = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; два равных отрицательных корня при $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $mx^2 - (m + 1)x + 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $m \ne 0$. Коэффициенты уравнения: $a=m$, $b=-(m+1)$, $c=2$.

Найдем дискриминант и приравняем его к нулю: $D = b^2 - 4ac = (-(m+1))^2 - 4 \cdot m \cdot 2 = (m+1)^2 - 8m$. $D = m^2 + 2m + 1 - 8m = m^2 - 6m + 1$.

Приравняем дискриминант к нулю: $m^2 - 6m + 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $m$: $m = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}$. $m = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$. Оба значения, $m_1 = 3 + 2\sqrt{2}$ и $m_2 = 3 - 2\sqrt{2}$, не равны нулю, так что они являются допустимыми.

Корень уравнения при $D=0$ равен $x = -\frac{b}{2a}$. $x = -\frac{-(m+1)}{2m} = \frac{m+1}{2m}$.

Для того чтобы уравнение имело два равных положительных корня, корень должен быть положительным: $x > 0$. $\frac{m+1}{2m} > 0$. Это неравенство верно, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Решая методом интервалов, получаем $m \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$. Оба найденных значения $m = 3 + 2\sqrt{2}$ и $m = 3 - 2\sqrt{2}$ являются положительными числами ($3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2.828 = 0.172 > 0$), поэтому оба удовлетворяют условию $m>0$.

Для того чтобы уравнение имело два равных отрицательных корня, корень должен быть отрицательным: $x < 0$. $\frac{m+1}{2m} < 0$. Это неравенство верно, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Решая методом интервалов, получаем $-1 < m < 0$. Ни одно из найденных значений $m = 3 \pm 2\sqrt{2}$ не попадает в интервал $(-1, 0)$.

Ответ: уравнение имеет два равных положительных корня при $m = 3 \pm 2\sqrt{2}$; значений $m$, при которых уравнение имеет два равных отрицательных корня, не существует.