Номер 965, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

965. Найдите все значения $t$, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня:

а) $x^2 - 6x + t = 0;$

б) $(t + 3)x^2 + 2(t - 1)x + t = 0.$

а)

Данное уравнение $x^2 - 6x + t = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = t$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot t = 36 - 4t$.

Условие наличия двух различных корней: $D > 0$.
$36 - 4t > 0$.

Решим это неравенство относительно $t$:
$36 > 4t$
$9 > t$

Следовательно, уравнение имеет два различных корня при $t < 9$.

Ответ: $t \in (-\infty; 9)$.

б)

Рассмотрим уравнение $(t + 3)x^2 + 2(t - 1)x + t = 0$.

Это уравнение является квадратным только если коэффициент при $x^2$ не равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$t + 3 = 0 \implies t = -3$.
Подставим $t = -3$ в исходное уравнение:
$(-3 + 3)x^2 + 2(-3 - 1)x + (-3) = 0$
$0 \cdot x^2 - 8x - 3 = 0$
$-8x = 3$
$x = -3/8$
При $t = -3$ уравнение становится линейным и имеет только один корень. Это не удовлетворяет условию о двух различных корнях.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
$t + 3 \neq 0 \implies t \neq -3$.
В этом случае уравнение является квадратным. Оно имеет два различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Коэффициенты уравнения: $a = t + 3$, $b = 2(t - 1)$, $c = t$.
Поскольку коэффициент $b$ четный, удобно использовать "сокращенный" дискриминант $D/4 = k^2 - ac$, где $k = b/2 = t - 1$.
$D/4 = (t - 1)^2 - (t + 3) \cdot t$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$D/4 = (t^2 - 2t + 1) - (t^2 + 3t) = t^2 - 2t + 1 - t^2 - 3t = 1 - 5t$.

Условие наличия двух различных корней: $D/4 > 0$.
$1 - 5t > 0$
$1 > 5t$
$t < 1/5$.

Мы получили, что для наличия двух различных корней должно выполняться условие $t < 1/5$. Однако мы также должны помнить об ограничении из Случая 2: $t \neq -3$.
Так как $-3$ входит в промежуток $t < 1/5$, это значение необходимо исключить.

Таким образом, итоговое множество значений для $t$ — это все числа, меньшие $1/5$, кроме $-3$.

Ответ: $t \in (-\infty; -3) \cup (-3; 1/5)$.